Како можам да утврдам нули на квадратни функции

На темите линеарни и квадратни функции

Овој пост објаснува колку нули има квадратна функција и како може да се пресмета. Тука ќе најдете два дела. Првиот објаснува колку нули има квадратна функција и вториот го објаснува решението на квадратни равенки со помош на формулата p-q или abc, со чија помош можете да пресметате нули на квадратни функции.

Малку влез

Нулите се важни точки во функцијата. Тие играат важна улога, особено во примери за примена, бидејќи означуваат истакнати точки. На пример, ако фрлањето на топка е моделирано со употреба на квадратна функција, едно од нулите ја означува точката во која ја погодува земјата. Ако мостот е моделиран со употреба на квадратна функција, тоа ја означува точката на која мостот ја допира земјата.

Квадратната функција може да има едно, две или воопшто да нема нули. Ова може да биде илустрирано графички.

Ако квадратната функција има само една нула, графикот на функцијата може да ја пресече x-оската само еднаш. Ова е случај само кога темето на параболата лежи на x-оската. Значи темето на функцијата одговара на нулата на функцијата.

Ако квадратната функција има две нули, параболата ја пресекува x-оската двапати. Ова е точно случај кога темето на параболата што се отвора нагоре лежи под x-оската или темето на парабола што се отвора надолу лежи над x-оската.

Ако квадратната функција нема нула, параболата воопшто не ја пресекува x-оската. Ова е точно случај кога темето на параболата што се отвора нагоре лежи над x-оската или темето на парабола што се отвора надолу лежи под x-оската.

Бидејќи вредноста на функцијата на параболата се зголемува (со параболи што се отвораат нагоре) или се намалува (со параболи што се отвораат надолу) во двата х-насока од врвот, не може да има повеќе од две нули. Бидејќи со трета нула, вредностите на функциите треба да се намалат повторно во одреден момент (со параболи кои се отворени нагоре) или да се зголемат (со параболи кои се отворени надолу).

Нула ја опишува точката во која вредноста на функцијата зема кој нула. Затоа, можете да ја пресметате ако ја решите равенката \ (f (x) = ax ^ 2 + bx + c = 0 \) за x. За да се реши оваа равенка, постојат две формули кои p-q- и abc формула (често се нарекува Формула за полноќ назначен). Не е важно кој се користи, бидејќи обајцата доведуваат до ист резултат. Затоа можете да изберете кои ви се допаѓаат повеќе или што веќе ги знаете од училиште.

И за p-q и за abc формулата, прво ќе најдете преклопен текст што го објаснува изведувањето на оваа формула. Овде можете да дознаете од каде потекнува формулата и зошто таа всушност работи. Потоа ќе најдете три превиткани текста кои ја објаснуваат примената на формулата користејќи разни примери, вклучувајќи видео на You-Tube на истата тема. Изберете форма на објаснување што ви се допаѓа повеќе.

Пресметка на нула (и) на квадратна функција со користење на p-q формулата:

Ако треба да се реши квадратна равенка на формата \ (x ^ 2 + px + q = 0 \) за \ (x \), може да се користи формулата p-q. Ова може да се добие со решавање на горенаведената равенка за \ (x \). За ова го користите квадратното продолжение.

1 чекор: Равенката е завршена со квадрат, така што бином на формата \ (\ лево (x + \ frac)

\ десно) ^ 2 = x ^ 2 + px + \ лево (\ frac

\ десно) ^ 2 \) се генерира.

2-ри чекор: Бином се генерира со употреба на биномните формули.

3-ти чекор: Равенката е решена за \ (x \).

Текстови со објаснување

Можете да најдете три различни примери за пресметување на нулите на квадратните функции зад следниве развиткани текстови:

Ако сакате да ги пресметате нулите на квадратната функција \ (f (x) = - 3x ^ 2-6x-3 \), прво поставете ја равенката на функцијата еднаква на нула, \ (f (x) = 0 \).

Затоа, мора да се примени следново: \ (- 3x ^ 2-6x-3 = 0 \)

Формулата p-q е: \ (x _ = - \ лево (> \ десно) \ pm \ sqrt \ десно) ^ 2-q> \) и решава квадратни равенки на формата \ (x ^ 2 + px + q \).

За да може да се користи pq формулата, квадратната равенка мора да има форма \ (f (x) = x ^ 2 + px + q \), т.е. префактор \ (a = 1 \) пред \ (x ^ 2) \) да има. За да го постигнеме ова, прво ја делиме равенката со префактор \ (a = -3 \)

Сега равенката ја има посакуваната форма и се применуваат \ (p = 2 \) и \ (q = 1 \). Ако сега ја вметнеме во p-q формулата, ќе добиеме:

Нулата на функцијата \ (f \) е затоа што е на позициите \ (x_1 = x_2 = -1 \). Примерок го потврдува резултатот:

Бидејќи функцијата има само еден корен, темето мора да биде и во точката \ (x = -1 \).

Ако некој сака да ги пресмета нулите на квадратната функција \ (f (x) = x ^ 2 + 4x + 3 \), прво се поставува равенката на функцијата еднаква на нула, \ (f (x) = 0 \).

Затоа, мора да се примени следново: \ (x ^ 2 + 4x + 3 = 0 \)

Формулата p-q е: \ (x _ = - \ лево (> \ десно) \ pm \ sqrt> \ десно) ^ 2-q> \) и решава квадратни равенки на формата \ (x ^ 2 + px + q \).

За да може да се користи pq формулата, квадратната равенка мора да има форма \ (f (x) = x ^ 2 + px + q \), т.е. префактор \ (a = 1 \) пред \ (x ^ 2) \) има, што е случај тука. Затоа: \ (p = 4 \) и \ (q = 3 \)

Ако сега ја вметнеме во p-q формулата, ќе добиеме:

Нулата на функцијата \ (f \) е според тоа на позициите \ (x_1 = -1 \) и \ (x_2 = -3 \). Примерок го потврдува резултатот:

Ако сакате да ги пресметате нулите на квадратната функција \ (f (x) = 2x ^ 2-8x + 14 \), прво поставете ја равенката на функцијата еднаква на нула, \ (f (x) = 0 \).

Затоа мора да се примени следново: \ (2x ^ 2-8x + 14 = 0 \)

Формулата p-q е: \ (x _ = - \ лево (> \ десно) \ pm \ sqrt> \ десно) ^ 2-q> \) и решава квадратни равенки на формата \ (x ^ 2 + px + q \).

Нема вистинско решение за \ (x_ \), бидејќи коренот на негативниот број не може да се извлече во реалниот. Ова значи дека функцијата нема нула.

Видеа со објаснување

И уште една математичка песна за никогаш да не ја заборавите привлечната фраза:

Пресметка на нула (и) на квадратна функција со помош на формулата abc:

Ако треба да се реши квадратна равенка на образецот \ (ax ^ 2 + bx + c = 0 \) за \ (x \), може да се користи abc формулата. Ова може да се добие со решавање на горенаведената равенка за \ (x \). За ова го користите квадратното продолжение.

1 чекор: Прво, факторот \ (a \) пред \ (x ^ 2 \) се елиминира со делење на равенката со \ (a \).

2-ри чекор: Равенката е завршена со квадрат, така што бином на формата \ (\ лево (x + \ frac)\ десно) ^ 2 = x ^ 2 +> \ cdot + \ лево (\ frac\ десно) ^ 2 \) се генерира.

3-ти чекор: Бином се генерира со употреба на биномните формули.

4-ти чекор: Равенката е решена за \ (x \).

Текстови со објаснување

Можете да најдете три различни примери за пресметување на нулите на квадратните функции зад следниве развиткани текстови:

Ако сакате да ги пресметате нулите на квадратната функција \ (f (x) = - 3x ^ 2-6x-3 \), прво поставете ја равенката на функцијата еднаква на нула, \ (f (x) = 0 \).

Затоа, мора да се примени следново: \ (- 3x ^ 2-6x-3 = 0 \)

Формулата abc е: \ (x _ = \ frac \ pm >> \) и решава квадратни равенки на формата \ (ax ^ 2 + bx + c \).

Во овој случај се применуваат \ (a = -3 \), \ (b = -6 \) и \ (c = -3 \). Вметнато во формулата abc, резултатот е:

Примерок го потврдува резултатот:

Бидејќи функцијата има само еден корен, темето мора да биде и во точката \ (x = -1 \).

Ако некој сака да ги пресмета нулите на квадратната функција \ (f (x) = x ^ 2 + 4x + 3 \), прво се поставува равенката на функцијата еднаква на нула, \ (f (x) = 0 \).

Затоа, мора да се примени следново: \ (x ^ 2 + 4x + 3 = 0 \)

Формулата abc е: \ (x _ = \ frac \ pm >> \) и решава квадратни равенки на формата \ (ax ^ 2 + bx + c \).

Во овој случај се применуваат \ (a = 1 \), \ (b = 4 \) и \ (c = 3 \). Вметнато во формулата abc, резултатот е:

Ова резултира во \ (x_1 = \ frac = -1 \) и \ (x_2 = \ frac = -3 \) за нулите. Примерок го потврдува резултатот:

Ако некој сака да ги пресмета нулите на квадратната функција \ (f (x) = 2x ^ 2-8x + 14 \), прво се поставува равенката на функцијата еднаква на нула, \ (f (x) = 0 \).

Затоа мора да се примени следново: \ (2x ^ 2-8x + 14 = 0 \)

Формулата abc е: \ (x _ = \ frac \ pm >> \) и решава квадратни равенки на формата \ (ax ^ 2 + bx + c \).

Во овој случај се применуваат \ (a = 2 \), \ (b = -8 \) и \ (c = 14 \). Вметнато во формулата abc, резултатот е:

Бидејќи негативниот корен нема решение во реалното, функцијата \ (f \) нема корен.

Видеа со објаснување

И уште една математичка песна за никогаш да не ја заборавите привлечната фраза:

Најважните работи на прв поглед

Прва вежба

Сега можете и самите да станете активни. Решете најмалку две од следниве задачи. Ако сè уште не можете да го направите, тоа е во ред. Погледнете го внимателно решението за примерок. Во делот „Практиката прави совршено“ имате уште повеќе можности да ја вежбате целата работа.

Задача 1

Пресметајте ги коренот (ите) на функциите

а) \ (f_1 (x) = 2x ^ 2-8 \)

б) \ (f_2 (x) = \ fracx ^ 2-x + \ frac \)

в) \ (f_3 (x) = 6x ^ 2-12x \)

г) \ (f_4 (x) = x ^ 2-4x-5 \)

вежба 2

Решете ги следниве равенки.

а) \ (7x ^ 2 + 3x = -5 \)

б) \ (2x ^ 2 = 4-8x \)

в) \ (4 (x ^ 2-1) = 4x + 4 \)

Задача 3

а) Скицирајте квадратна функција со нула, една или две нули. Што ги прави издвоени?

б) Одлучете без пресметка дали следниве функции имаат едно, две или нема нули.

Решение 1

а) Нулите се на \ (x _ = \ pm2 \). За да ги одредиме нулите, прво ја поставивме функцијата на нула:

\ (f_1 (x) = 2x ^ 2-8 = 0 \)

Нулите сега можат да се одредат со помош на едноставни трансформации на еквивалентност, p-q или abc формулата.

Едноставни еквивалентни трансформации:

\ (\ лево стрелец \) \ (2x ^ 2 = 8 \) | \ (+ 8 \)

\ (\ лево стрелец \) \ (x ^ 2 = 4 \) | \ (: 2 \)

Ова резултира во \ (x_1 = 2 \) и \ (x_2 = -2 \)

p-q формула:

Ова резултира во \ (x_1 = 2 \) и \ (x_2 = -2 \)

abc формула:

Ова резултира во \ (x_1 = 2 \) и \ (x_2 = -2 \)

б) Функцијата нема нула. За да го одредиме ова, прво ја поставивме функцијата на нула:

Равенката може да се реши со помош на формулата p-q или abc.

p-q формула:

Бидејќи коренот на негативниот број нема решение во реалниот свет, равенката нема решение и затоа функцијата нема нула.

abc формула:

Бидејќи коренот на негативниот број нема решение во реалниот свет, равенката нема решение и затоа функцијата нема нула.

в) Нулите се на \ (x_1 = 0 \) и \ (x_2 = 2 \). За да ги одредиме нулите, прво ја поставивме функцијата на нула:

Нулите сега можат да се одредат со помош на едноставни трансформации на еквивалентност, p-q или abc формулата.

Едноставни еквивалентни трансформации:

\ (\ лево стрелец \) \ (x ^ 2-2x = 0 \) | Со исклучок на \ (x \)

Производот е нула ако и само ако еден од двата фактори е нула. Производот \ (\ cdot \) тогаш е нула ако и само ако \ (x_1 = 0 \) или \ ((x_2-2) = 0 \) \ (\ лево-стрелка \) \ (x_2 = 2 \)

p-q формула:

Ова значи дека \ (x_1 = 1-1 = 0 \) и \ (x_2 = 1 + 1 = 2 \)

abc формула:

г) За да ги одредиме нулите, прво ја поставивме функцијата на нула:

p-q формула:

Ова значи дека \ (x_1 = 2 + 3 = 5 \) и \ (x_2 = 2-3 = -1 \)

abc формула:

Решение 2

а) Равенката прво се става во форма \ (ax ^ 2 + bx + c = 0 \) и \ (x ^ 2 + px + q = 0 \), а потоа се решава со формулата abc или p-q.

\ (7x ^ 2 + 3x = -5 \) | \ (+ 5 \)

Решение со употреба на формулата p-q:

Квадратната равенка нема вистинско решение.

Решение со употреба на формулата abc:

Квадратната равенка нема вистинско решение.

б) Равенката прво се става во форма \ (ax ^ 2 + bx + c = 0 \) и \ (x ^ 2 + px + q = 0 \), а потоа се решава со формулата abc или p-q.

\ (2x ^ 2 = 4-8x \) | \ (- 3 \)

\ (\ лево стрелец \) \ (2x ^ 2-4 = -8x \) | \ (+ 8x \)

Решение со употреба на формулата p-q:

Решение со користење на формулата abc:

в) Равенката прво се става во форма \ (ax ^ 2 + bx + c = 0 \) и \ (x ^ 2 + px + q = 0 \), а потоа се решава со формулата abc или p-q.

\ (4 (x ^ 2-1) = 4x + 4 \) | \ (- 3х \)

\ (\ лево стрелец \) \ (4x ^ 2-4-4x = 4 \) | \ (- 4 \)

Решение со употреба на формулата p-q:

Решение со користење на формулата abc:

Решение 3

а)

Функциите се разликуваат во положбата на нивниот врв. Разликуваме два случаи: парабола отворена нагоре и парабола отворена надолу.

Лаги нема нула пред,…

значи врвот е над x-оската кога параболите ќе се отворат нагоре.

така темето е под x-оската кога параболите ќе се отворат надолу.

Лаги нула порано, темето лежи на него на x-оската и со нагоре и надолу отворени параболи. Нулата така одговара на темето.

Лага две нули пред,…

така темето е под x-оската кога параболите се отвораат нагоре.

значи темето е над x-оската кога параболите ќе се отворат надолу.

б) Графикот на функцијата \ (f_1 \) е парабола што се отвора нагоре. Темето може да се прочита директно од функционалната равенка со \ (S_ (3 | 2) \). Така темето лежи над x-оската и функцијата \ (f_1 \) нема нула.

Графикот на функцијата \ (f_2 \) е парабола што се отвора надолу. Темето може да се чита директно од равенката на функцијата со \ (S_ (1 | 2) \). Така темето лежи над x-оската и функцијата \ (f_2 \) има точно две нули.

Графикот на функцијата \ (f_3 \) е парабола што се отвора надолу. Темето може да се чита директно од равенката на функцијата со \ (S _- \ frac | 0 \). Така темето лежи на x-оската и функцијата \ (f_3 \) има точно една нула што одговара на темето.