Ротација околу фиксна оска - курсеви преку Интернет
Ве очекуваат повеќе видеа за учење и бројни материјали:
Комплетен пакет за студенти по инженерство
Видеото се вчитува .
Ако видеото не се појави по кратко време:
Водич за гледање видео
- Видео: Ротација околу фиксна оска
- Аголна брзина
- Аголно забрзување
- брзина
- забрзување
- Резиме
- Пример: Ротација околу фиксна оска
Во овој дел, прво се разгледува ротацијата на круто тело околу фиксната оска. Следниот клип треба да послужи како илустрација. Вежба за вежба за вежба се врти тука:
Видео: Ротација околу фиксна оска
Видеото се вчитува .
Ако видеото не се појави по кратко време:
Водич за гледање видео
Ако круто тело се врти околу фиксната оска како на горниот клип [се занемарува малата нерамнотежа на вежбата], која било точка $ P $ во телото се движи по кружна патека.
Ако крутото тело ротира околу фиксната оска на ротација, сите точки на крутото тело се движат по кружна патека. Кружните патеки на сите тела се нормални на оската на ротација. Зракот за возење $ r $ претставува врска помеѓу точка $ P $ и точката $ 0 $ на оската на ротација. Зраците на возење од сите точки на телото покриваат ист агол на ротација $ \ varphi $ во исто време. Ова значи дека аголната брзина $ \ омега = \ фрак $ (изведување на аголот во однос на времето) и аголното забрзување $ \ алфа = \ фрак = \ фрак $ (изведувањето на аголната брзина во однос на времето) се исти за сите точки на телото. Затоа е доволно да се разгледа една точка на крутото тело и да се утврдат аголните брзини и аголните забрзувања на оваа една точка, што потоа го претставува целото круто тело. Равенките за кинематиката на масовната точка може да се користат за специјалниот случај на кружно движење (види дел Специјален случај: кружно движење).
Аголна брзина
Позицијата од $ r $ во времето $ t $ е дадена со аголот $ \ varphi $ помеѓу фиксната референтна линија и $ r $. Промената на аголот е дадена од $ d \ varphi $. Бидејќи ротацијата е околу фиксна оска, насоката на промена на аголот е секогаш долж фиксната оска. Промената на аголот по времето $ t $ е позната и како аголна брзина:
метод
Аголно забрзување
Промената на аголната брзина со текот на времето се нарекува аголно забрзување $ \ алфа $:
метод
Насоката на $ \ алфа $ зависи од тоа дали аголната брзина се зголемува или се намалува. Со зголемување на аголната брзина, насоката $ \ алфа $ се совпаѓа со онаа на $ \ омега $ (позитивно аголно забрзување), со намалена аголна брзина, насоката $ \ алфа $ е спротивна на насоката на $ \ омега $ (негативно аголно забрзување).
Со елиминирање на $ dt $ од горенаведените две равенки со додавање $ d \ varphi $, добиваме диференцијална врска помеѓу аголното забрзување и аголната брзина:
Вметнување на $ \ омега = \ frac $:
Множење со $ d \ varphi $:
метод
$ \ алфа \; d \ varphi = \ омега \; d \ омега $
брзина
Ако се дадени аголна брзина и аголно забрзување (кои се исти за сите точки), може да се утврдат брзините и забрзувањата на одделните точки. Овие веќе не се исти, бидејќи точките што се подалеку од оската на ротација имаат поголема брзина, а со тоа и забрзување од точките што се поблиску до оската на ротација.
Векторот на брзина за точката $ P $ резултира од:
метод
Вектор на брзина
Скаларна компонента:
Вкупната брзина како скалар тогаш може да се одреди на следниов начин:
метод
Јасно можете да видите дека брзината на секоја точка е различна поради $ r $. Точките што се поблиску до оската на ротација имаат помала брзина.
забрзување
метод
Вектор за забрзување
Скаларни компоненти:
Радијално забрзување $ a_r = - r \ омега ^ 2 $ (нормално на кружната патека)
Окружно забрзување $ a_ = r \ dot = r \; \ алфа $ (тангенцијално на кружната патека)
Целото забрзување како скалар може да се пресмета на следниов начин:
метод
Ако аголната брзина $ \ омега $ е постојана, дериватот на ова ја дава вредноста нула. Тогашното забрзување е нула. Тоа значи дека се менува само насоката на движење, брзината останува постојана.
метод
$ a = a_r $ Забрзување со постојана аголна брзина
Резиме
- Сите точки на телото што ротираат околу фиксната оска на ротација опишуваат кружни патеки.
- Ако се познати аголната брзина и аголното забрзување, може да се одреди брзината и забрзувањето на секоја точка на телото. Важно: Аголното забрзување и аголната брзина се исти за сите точки кога ротирате околу фиксната оска на ротација. Брзината и забрзувањето не се, сепак, затоа што точките подалеку од оската на ротација имаат поголема брзина од точките близу до оската на ротација.
Пример: Ротација околу фиксна оска
пример
На горната графика, дискот $ S $ поврзан со моторот почнува да се врти од својата позиција за мирување со постојано аголно забрзување $ \ alpha_S = 2 rad/s ^ 2 $. Ременот предизвикува вртење на долното тркало $ R $. Одредете ја количината на брзина и количината на забрзување за точката $ P $ на тркалото $ R $ откако тркалото $ R $ ќе се ротира еднаш. Нерастедливиот ремен не треба да се лизне, туку цврсто да се држи. Следното се применува:
$ r_S = 0,25 m $, $ r_R = 0,55 m $.
За тркалото $ R $ се вели дека еднаш се свртел. Една револуција има $ 360 ° $ или $ 2 \ pi \; рад $. Ова значи дека тркалото $ R $ чисти агол од:
$ \ varphi_R = 360 ° $. бвз во радијани: $ \ varphi_R = 2 \ pi \; рад $
Ременот не одговара и не се лизга. Ова значи дека истата должина е секогаш одвртена од макарата $ S $ од ременот, како и од тркалото $ R $. Должината на ременот може да се одреди со помош на формулата за должината на лакот, бидејќи и тркалото и макарата претставуваат круг, а ременот е завиткан околу обете. Должината на лакот се одредува со:
Известување
$ L = r \ cdot \ varphi $ (во радијан)
Правилото е дека должината на ременот што се одмотува од макарата и тркалото е секогаш иста:
$ L = r_R \ cdot \ varphi_R = r_S \ cdot \ varphi_S $ (во радијан)
И двете равенки сега може да се решат за $ \ varphi_S $ и вметнатите вредности:
Двата агли погоре се исти, само еднаш во радијан и еднаш во степени. Ова значи дека ако тркалото $ R $ ротира еднаш (= 360 °), тогаш дискот $ S $ ротира 2,2 пати (= 792 °/360 ° = 2,2).
Следно, се одредува аголното забрзување на дискот $ S $. Забрзувањето е константно $ \ alpha_S = \ dot_S = const $ е (види задача) и генерално се определува со:
Сепак, нема зависност од времето, поради што се користи следната врска (видете го текстот погоре):
$ \ алфа \; d \ varphi = \ омега \; d \ омега $
Бидејќи аголното забрзување $ \ alpha_S $ е константно, се применува следново по интеграцијата:
$ \ alpha_S (\ varphi_S - \ varphi_) = \ frac \ омега_С ^ 2 - \ frac \ омега_ $
Ротацијата од положбата за одмор значи $ \ omega_0 = 0 $ и $ \ varphi_0 = 0 $:
$ \ alpha_S \ cdot \ varphi_S = \ frac \ омега_С ^ 2 $
Решете за $ \ омега_С $:
Вметнување на вредностите:
метод
Сите точки на дискот $ S $ ротираат со иста аголна брзина $ \ omega_S = 7,44 \ frac $. Сепак, сега треба да се одреди брзината на точката $ P $ на тркалото $ R $. Тука аголната брзина е секако различна бидејќи тркалото е многу поголемо. Сепак, постои врска помеѓу движењето на дискот $ S $ и тркалото $ R $. Сите точки на ременот имаат иста брзина $ v $ и исто тангентно забрзување $ a_ $. Не сите точки на макарата $ S $ или тркалото $ R $ имаат иста брзина (или забрзување), само точките на ременот (т.е. сите надворешни точки). Овие точки ја вклучуваат и точката $ P $, која се наоѓа на надворешниот раб и затоа има иста брзина и исто тангентно забрзување како и сите други точки на ременот. Брзината генерално може да се одреди со:
$ v = \ омега \ cdot r $
Бидејќи сите точки на надворешниот раб на дискот $ S $ и тркалото $ R $ имаат иста брзина, важи следново (радиусите се протегаат до работ):
Известување
$ v = \ omega_S \ cdot r_S = \ omega_R \ cdot r_R $
Брзината на точката $ P $ обично се одредува со помош на тркалото $ R $ на кое се наоѓа точката:
$ v_P = \ омега_Р \ cdot r_R $
Сепак, брзината исто така може да се одреди тука со одредување на брзината на надворешните точки на дискот $ S $, бидејќи ова е еднакво на надворешните точки на тркалото $ R $ (а $ P $ е однадвор):
метод
$ v_P = \ омега_С \ пати r_S = 7,44 \ frac \ пати 0,25m = 1,86 \ frac $
Забрзувањето на точката $ P $ резултира од двете компоненти:
$ a_r = - r_R \; \ омега_Р ^ 2 $
Како што веќе споменавме погоре, тангенталното забрзување $ a_ $ е исто за сите точки на ременот. Целото забрзување произлегува од двете компоненти:
$ a_r = - r_R \ cdot \ омега_Р ^ 2 $
Бидејќи тангенталното забрзување е исто за сите надворешни точки, може да се одреди и од дискот $ S $:
$ a_ = r_S \; \ alpha_S = 0,25m \ cdot 2 \ frac = 0,5 \ frac $
Нормалната компонента на забрзувањето $ a_r $ е различна за секоја точка, поради што:
$ a_r = -r_R \ cdot \ омега_Р ^ 2 $
Аголната брзина $ \ omega_R $ сè уште недостасува. Ова може да се утврди од односот помеѓу брзината:
Известување
$ v = \ omega_S \ cdot r_S = \ omega_R \ cdot r_R $
Решете за $ \ омега_Р $:
Нормалната компонента на забрзувањето е:
$ a_r = -r_R \ cdot \ omega_R ^ 2 = -0,55m \ cdot (3,38 \ frac) ^ 2 = -6,28 \ frac $
Тогашното вкупно забрзување резултира со: