Динамичен систем - биологија

Колку е топло премногу топло за живот длабоко под дното на океанот?

Антибиотици од бактерии

Миграција на клетки: новооткриена функција на познат протеин

Молекуларен компас за порамнување на клетките

Она што ги прави лисјата стареат наесен

Демократијата на птиците за мршојадец

Околина на Екембо: Луѓето исто така живееле во отворени пејзажи

| Генетика | Земјоделство, шумарство и сточарство

Разновидноста на пченицата е создадена со вкрстување на диви треви

Колку е топло премногу топло за живот длабоко под дното на океанот?

Динамичен систем

Под (детерминистичко) динамичен систем се разбира математичкиот модел на временски зависен процес кој хомогена во однос на времето, па неговиот тек од почетокСтатус, но не од почетоквреме зависи. Терминот динамичен систем во сегашната форма се враќа до математичарот Georgeорџ Дејвид Бирхоф.

Динамичките системи имаат широк спектар на примена во секојдневните процеси и овозможуваат увид во многу области не само на математиката (на пр. Теорија на броеви, стохастика), туку и на физика (на пр. Движење на нишало, климатски модели) или теоретска биологија (на пр. Модели на предатори на предатори).

Се прави разлика помеѓу подискретно и поконтинуирано Развој на време. Во дискретен динамичен систем, состојбите се менуваат во еднакво оддалечени временски скокови, т.е. Х. во последователни, секогаш подеднакво големи временски интервали, додека промените на состојбата на временски континуиран динамичен систем се одвиваат во бесконечно мали временски чекори. Најважните средства за опишување на динамички системи со континуирано време се автономни обични диференцијални равенки.

Мешан систем на континуирани и дискретни подсистеми со континуирано-дискретнотој се нарекува и динамичен хибриден назначен. Примери за таква хибридна динамика може да се најдат во инженерството на процеси (на пр. Системи за дозирање на образци).

Дефиниции

А. динамичен систем е троен $ (T, X, f), $ кој се состои од множество $ T = \ N_0, \ Z, \ R ^ + _ 0 $ или $ \ R, $ dem Период, непразен сет $ X $, Државен простор, и операција $ f \ дебело црево \, Т \ пати X \ до X $ од $ T $ до $ X, $ така што за сите Услови $ x \ во X $ и сите Посочува на време $ t_1, t_2 \ во T $ важи следново:

$ f (0, x) = x $ (Идентитет имот) и
$ f (t_2, f (t_1, x)) = f (t_2 + t_1, x) $ (Половина сопственост).

Ако $ T = \ N_0 $ или $ T = \ Z $, тогаш $ (T, X, f) се нарекува $ временски дискретни или кратко дискретно, и со $ T = \ R ^ + _ 0 $ или $ T = \ R $ еден повик $ (T, X, f) $ континуирано во времето или континуирано. $ (T, X, f) $ се нарекува и дискретен или континуиран динамичен систем во реално време или како неповратен означува дали се применува $ T = \ Z $ или $ T = \ R $.

За секои $ x \ во X $ картата се нарекува $ \ beta_x \ colon \, T \ до X, \, t \ mapsto \ beta_x (t): = f (t, x), $ die Движете се од $ x = \ beta_x (0) $ и множеството $ O (x): = \ $ станува воз или (полн) орбита повикан од $ x $. На позитивна половина орбита или Орбита напред од $ x $ е $ O ^ + (x): = \ $ и ако $ (T, X, f) $ е неповратен, $ O ^ - (x): = \ $ der негативна половина орбита или Обратна орбита од $ x $ .

Дискретен динамички систем $ (T, X, f) $ е стабилно, ако неговиот државен простор $ X $ е (непразен) метрички простор и ако секоја трансформација $ \ varphi_t \ дебело црево \, X \ во X, \, x \ mapsto \ varphi_t (x) што припаѓа на одредена временска точка $ t \ во T $: = f (t, x), $ е континуирано. Континуиран динамичен систем се нарекува $ (T, X, f) $ стабилно или еден Половина проток, ако нејзиниот простор на состојба $ X $ е метрички простор и ако секоја трансформација што припаѓа на одредена временска точка, како и секое движење на една состојба е континуирана. Покрај тоа, континуиран дискретен динамичен систем $ (\ Z, X, f) $ се нарекува и a каскада и половина проток $ (\ R, X, f) $ еден проток. Се нарекува и состојба на состојба на континуиран динамичен систем Фазен простор и од секоја $ x_0 \ во X $ орбитата како Фазна крива или Траекторија означено со $ x_0 $, што едноставно се запишува $ x \ colon \, t \ mapsto x (t) $ со $ x (0) = x_0 $ .

Ако некој комбинира континуирани и, доколку е потребно, дополнителни дискретни динамички системи за да формира систем, ова се нарекува а континуирано-дискретнотоа или исто така хибридентоа е динамичен систем.

Забелешки

Во литературата, честопати не се прави разлика помеѓу динамички системи и континуирани динамички системи или текови, а протокот честопати се разбира како диференцијабилен проток (види подолу). Постојат и поопшти дефиниции за континуирани динамички системи во кои z. Тополошки колектор, (можеби компактен) простор Хаусдорф или дури само тополошки простор се зема како фазен простор.
Наместо левата операција $ f $ како во горната дефиниција, динамичките системи често се дефинираат со правилна операција $ f_r \ дебелото црево \, X \ пати T \ до X $ на $ X $;.
Во дефиницијата, својството за идентитет на операцијата е потребно $ f $ затоа што секоја состојба $ x $ не треба да се менува сè додека не помине време (т.е. за $ t = 0 $). Овој имот значи дека трансформацијата што припаѓа на $ 0 $ е идентично мапирање со $ X $: $ \ varphi_0 = \ operatorname_X. $
Својството на полугрупа го прави диномичниот систем хомоген во однос на времето: Прво добивате $ t_1 $ временски единици од државата $ x $ до државата $ f (t_1, x) $, а потоа од таму во $ t_2 $ временски единици до државата $ f (t_2 + t_1, x) $, г. Х. во истата состојба до која доаѓа директно од државата $ x $ во $ t_2 + t_1 $ временски единици. Трансформациите $ \ varphi_t \ colon \, X \ до X, \, x \ mapsto \ varphi_t (x): = f (t, x), $ што припаѓа на сите времиња $ t $ формираат комутативна полугрупа со составот $ \ околу $ како врска и со неутрален елемент $ \ varphi_0 $, покрај тоа бројката $ T \ до X ^ X \ !, \, t \ mapsto \ varphi_t, $ е полугрупа хомоморфизам: $ \ varphi_ = \ varphi_ \ circ \ varphi_ $ за сите $ t_1, t_2 \ во Т. $ Оваа полу-трансформациска група е дури група во инверзибилни динамички системи, бидејќи за сите $ t \ in T $ $ \ varphi_ $ е обратниот елемент на $ \ varphi_t. $
Динамичен систем $ (T, X, f) $ со $ T = \ N_0 $ или со $ T = \ R ^ + _ 0 $ потоа може да се претвори во инверзибилен динамичен систем $ (T ', X, f') $ продолжи со $ (T '\ cap \ R ^ + _ 0, X, f' | _) = (T, X, f) $ ако трансформацијата $ \ varphi_1 $ што припаѓа на $ 1 $ е обратна функција $ (\ varphi_1) ^ $ поседува. Потоа има $ \ varphi_: = (\ varphi_1) ^ $ и рекурзивно $ \ varphi_: = \ varphi_ \ circ \ varphi_ $ за сите $ n \ во \ N. $ Ако $ (T, X, f) $ е континуирано, тогаш до $ \ varphi_: = \ varphi_ \ circ \ varphi_ $ за сите $ t = n + s \ во \ R ^ + _ 0 $ со $ n \ in \ N_0 $ и $ s \ во [\, 0,1) $ исто така јасно дадени ги сите трансформации што припаѓаат на негативни времиња. Со $ T ': = T \ cup \ $ има точно една операција $ f' \ дебело црево \, T '\ пати X \ до X, \, (t, x) \ mapsto f' (t, x): = \ varphi_t (x), $ декларирано од $ T '$ до $ X $ така што $ (T', X, f ') $ е неповратно продолжение на $ (T, X, f) $.
Поради својството на полугрупа, секој дискретен динамичен систем $ (\ N_0, X, f) $ или $ (\ Z, X, f) $ може да се користи како повторувачка апликација на трансформацијата $ \ varphi: = \ varphi_1 $ што припаѓа на $ 1 $ со Разгледајте ги временските точки како индекси на повторување: $ \ varphi_ = \ varphi \ circ \ varphi_t $ за сите $ t \ во \ N_0 $ и за $ (\ Z, X, f) $ исто така има $ \ varphi_ = \ varphi ^ \ circ \ varphi_t $ за сите $ -t \ во \ N_0. $ Затоа $ (T, X, f) $ е веќе уникатно одредено од $ \ varphi $ и може полесно да се запише $ (X, \ varphi) $.
Ако некој го ограничи времето на $ T \ cap \ Z $ во континуиран динамичен систем $ (T, X, f), $, тогаш со $ (T \ cap \ Z, X, f | _) $ секогаш се резултира со еден дискретен динамичен систем. Од една страна, оваа дискретизација е широко користена во нумериката, на пр. B. во назад анализа. Од друга страна, постојат природни и технички системи кои се карактеризираат со непрекинати промени во состојбата и можат да се моделираат на директен начин со дискретни динамички системи.
Во теоријата на динамички системи, некој е особено заинтересиран за однесувањето на траекторите за неисправна вредност од $ t. Количините на $ лимес и нивната стабилност се од голема важност тука. Фиксни точки се токму оние точки $ x $ од фазниот простор за кој постои точка чија траекторија од $ t \ до + \ нестабилна $ се стреми кон x, и ги ограничуваат множествата на такви точки. Покрај фиксните точки, најважните гранични групи се периодичните орбити. Меѓутоа, особено во нелинеарните системи, исто така, се среќаваат сложени непериодични множества на граници. Во теоријата на нелинеарни системи, фиксни точки, периодични орбити и општи непериодични гранични множества се наведени под генеричкиот поим атрактор (или. Репелер, ако е одбивно, видете исто така чуден привлечник) Овие се детално испитани во теоријата на хаосот.

Важни посебни случаи

Симболична динамика во дискретен динамичен систем има $ (T, X, f) $ со $ X = A ^ T $ за азбука $ A $ ($ X $ е бесконечна низа симболи од $ A $) и $ \ varphi_1 $ е таканаречена смена на картата што ги поместува симболите во секоја низа за едно место.
Различни (Половина) протоци се (половина) текови $ (T, X, f) $, за кои се разликува секоја трансформација што припаѓа на одредена точка во времето. Особено, секоја од овие трансформации на диференцијабилен проток е диефоморфизам.
Во хаотиченилустрации, како што се Б. мапирањето во Бернули, логистичкото мапирање или мапирањето на Хенон, дискретизациите играат голема улога за да можат да се испитаат повторените мапи.

Примери

Физички пример е двојното нишало, а хемискиот бриселоватор.

Различен проток од физиката

Нека M $ биде компактна разновидна разноликост, на пример, негенерирана енергетска површина во $ \ mathbb ^ n $, и $ v \ дебелото црево \, M \ до TM $ мазно векторско поле над $ M $. Потоа, според теоремата на Пикард-Линделоф, постои една параметарска група на диефоморфизми $ \ varphi_t \ дебелото црево M \ до M $ со

$ \ varphi_0 = \ operatorname_M, $
$ \ varphi_ \ circ \ varphi_ = \ varphi_ $ за сите $ t_1, t_2 \ in \ R, $
$ \ frac \ varphi_t = v \ circ \ varphi_t. $

Траекторијата на фиксна точка $ x $ од $ M $ е крива на решение на диференцијалната равенка од 3. до почетната вредност $ x $. Оваа параметарска група од $ 1 што одговара на мазното векторско поле $ v $ се нарекува проток на $ M $ .