Динамички системи со сложена структура на однесување Хомоклиника
Соработка: С. Гонченко (Институт за применета математика и кибернетика, Нижни Новгород, Русија), Л. Лерман (Институт за математика, ФУ Берлин)
Финансирање: Приоритетна програма на ДФГ „Ергодичка теорија, анализа и ефикасна симулација на динамички системи“
Опис на истражувачката работа:
Студијата за хомоклинички бифуркации обезбедува единствена алатка за разбирање на нелокалните динамички појави. Познавањето на структурата на одреден (генерално конечен) сет на издвоени траектории (на пр. Периодични орбити до кои постои хомоклиничка траекторија и точки на рамнотежа со хомоклиничка јамка) овозможува сеопфатен опис на сложеното динамичко однесување.
Истражувањата на следните теми беа извршени во периодот на известување.
1. Бифуркација на сино-небо. Во 1995 година Д. Тураев и Л. Шилников докажаа нов вид бифуркација за периодични раствори ([1]): Во множеството на сите мазни, тродимензионални реки, има област на кодимензија 1, која се состои од точки на бифуркација (бифуркација на сино-небо)
постои и има својство дека кога се приближува на оваа површина, периодот и должината на одличното периодично решение стануваат бесконечно големи. Овој резултат е докажан под претпоставката дека реките се мазни. Сега се покажа дека мазноста на С 2 е доволна за ова ([2]). Овој резултат е од особено значење од гледна точка на намалување на динамичките системи на нелокални инваријантни колектори (на пр. Инерцијални колектори), бидејќи во овој процес системите ја губат оригиналната мазност ([3, 4]).
Резултатите во [1] може да се прошират покажувајќи дека геометриската конструкција што се користи во [5] се јавува природно во класата на динамички системи со брзи и бавни променливи, што е важно за апликациите (поради однесувањето на скокот помеѓу различни видови на бавни колектори).
2. Кодимензија 2 бифуркации на хомоклинички јамки. Познато е дека под генерички услови периодично решение се разгранува од хомоклиничката јамка на седлото. Повредата на овие генерички состојби доведува до бифуркации на кодимензија 2. Претходно отворениот проблем за тоа дали се познати сценаријата за бифуркација на кодимензија 2 е завршен. Може да се покаже дека покрај познатите сценарија за бифуркација
не може да даде повеќе ([5]).
3. Само-локализирани решенија од системите Хамилтон. Во системите на обични диференцијални равенки, само-локализираните решенија претставуваат хомоклинички јамки. Бифуркациите на хомоклиничките јамки во Хамилтоновите системи се во голема мера неистражени. Во однос на постоењето на Н-пулсирања во системите Хамилтон се покажа дека кршењето на генеричките услови во [6], бидејќи тие се на пр. B. се јавува во бифуркацијата на флип-орбитата во системите на Хамилтон, доведува до постоење на бесконечен број на Н импулси. Множеството на овие решенија беше целосно опишано со употреба на јазикот на симболичката динамика, а улогата на специјалните нехомоклинички решенија (на пр. Периодични и хетероклинички решенија) беше претставена во овој контекст. Се покажа дека постоењето на супер-хомоклинички решенија (тие претставуваат хомоклинички орбити на хомоклинички орбити) значително ја зголемуваат комплексноста на динамиката ([7]).
За единствено вознемирените системи на Хамилтон, истражен е феноменот на експоненцијално мала раздвојувачка матрица. Добиените резултати може да се користат за опишување на пулсни раствори во различни физички системи (на пр. Со плитки водни бранови) ([8]).
4. Динамика во области на нови куќи. Компјутерските симулации на хаотични системи секогаш покажуваат појава на хомоклинички контакти, т.е. Х. непроменливите колекции периодични решенија налик на седло се допираат едни со други. Newухаус покажа дека системите со хомоклинички контакти се густи во одредени области на просторот на сите динамички системи. Во [9] детално е прикажано дека целосен опис на динамиката на системите во областите на Newухаус е во принцип невозможен.
Една од главните својства на хомоклиничките контакти е истовремено појавување на периодични раствори со тополошки различно однесување. Овој феномен е докажан и за областите на Newухаус во системите Хамилтон ([10, 11, 12]).
Проектна литература: