Експоненцијален раст на популацијата
цели за учење
Ако сте работеле низ оваа страница, треба
- знајте што е експоненцијален раст,
- совладајте ги математичките принципи на експоненцијалниот раст,
- ги знаат поимите стапка на раст, стапка на наталитет и стапка на смртност и да можат да ги поврзат со експоненцијален раст,
- симулирајте експоненцијален раст користејќи стандардна табеларна пресметка.
Експоненцијален раст кај бактериите
"Во зависност од организмот и условите на културата, времето на генерирање на единечни клетки може да биде околу 15 минути (термофилни бактерии), неколку часа (на пр. Нитрирачки бактерии) или неколку дена".
Извор: Spectrum Lexicon of Biology, клучен збор „микробен раст“
Бактерии од видот Ешерихија коли може да се дели на секои 20 минути под оптимални услови. Поединец станува двајца по 20 минути, четири по 40 минути, осум по еден час и така натаму. Да погледнеме во графиконот за растот на популацијата на Ешерихија коли на:
Пресметка на растот на популацијата на E. coli за 20 генерации
Користев табеларни пресметки за да го пресметам развојот на колонијата на E. coli во период од дваесет генерации (добри шест часа) и да ја претставам графички. По добри шест часа веќе има половина милион клетки, 20 минути подоцна има околу 1 милион клетки.
Тука, исто така, гледаме нешто многу типично за експоненцијален раст: На почетокот растот изгледа сосема безопасно, скоро може да се зборува за нула раст - што секако се должи и на обемот што се користи овде. Само по околу 14 или 15 генерации гледате значителен раст, кој потоа се повеќе се зголемува.
Експоненцијален раст во природата
Експоненцијалниот раст не е забележан само кај бактериите, фазите на експоненцијалниот раст се забележани и кај многу повисоки организми (растенија, животни, луѓе). Растот на популацијата на човештвото е дури хиперекспоненцијален, т.е. дури и посилен од едноставниот експоненцијален раст.
Раст на човекот
Во 1804 година имало една милијарда луѓе на земјата, во 1927 година бројот се удвоил на две милијарди. Периодот на удвојување беше 123 години.
Во 1974 година веќе имаше четири милијарди луѓе на земјата, периодот на удвојување сега беше само 47 години.
Во моментот (17.06.2018) има 7.480.144.000 луѓе, следната година (2019) бројот веројатно ќе порасне на 8 милијарди. Периодот на удвојување сега е 44 години, што е уште едно забрзување на растот. Но, очигледно, растот на човештвото се приближува до експоненцијален раст, т.е. раст со постојано време на удвојување. Тоа е смирувачко (внимание: сарказам!).
Најсилен пораст на населението има во земјите во развој, додека во повеќето индустриски развиени земји стагнацијата, па дури и негативната.
На веб-страницата www.census.gov/popclock буквално можете да гледате како расте човештвото.
Математика на експоненцијален раст
Математичката претстава на експоненцијалниот раст е прилично едноставна. Постојаното време на удвојување зависи од стапката на раст w на населението. Стапката на раст е составена од две компоненти: наталитет g и стапка на смртност s. Се применува следново: w = g - s. Ако се родат повеќе лица отколку што умираат некои, стапката на раст е позитивна. Ако повеќе лица умрат во одреден временски период отколку што се родени, стапката на раст е негативна, т.е. помала од 0. Ако стапката на наталитет и стапката на смртност се избалансирани, стапката на раст има вредност 0, што се нарекува стагнација на населението или нула раст .
За да симулирате експоненцијален раст со табела, ви треба диференцијална равенка. Диференцијалната равенка покажува колку популацијата се зголемува (или се намалува) во даден временски период.
Со $ dN $ се подразбира зголемување на големината на населението, со $ dt $ периодот во кој се одвива зголемувањето. Постојаната $ k $ одредува колку силно $ зависи од моменталната големина на населението $ N $.
Симулација на експоненцијален раст преку табеларна пресметка (броеви на Apple)
Обука за методот на табеларни пресметки I
Во првата колона на табелата ги внесуваме генерациите, т.е. 1, 2, 3,. 30. Едноставна формула веќе може да се користи за ова. На пример, вредноста на ќелијата А3 се пресметува од вредноста на ќелијата А2, зголемена за 1. Во ќелијата А3 ја внесуваме следнава формула:
Потоа ја копираме оваа формула во сите ќелии A4, A5, подолу A3. А31.
Во ќелијата Б2 ја внесуваме почетната големина на населението, тука 100.
Во ќелијата D2 ја внесуваме вредноста на константа k на диференцијалната равенка, на пример 0,04.
Потоа, ја пишуваме следната формула во ќелијата Б3:
Ние ја копираме оваа формула повторно во сите ќелии под B3. Броевите веројатно сега се прикажуваат со многу децимални места, што не изгледа убаво. Затоа, ја форматираме колоната Б така што да не се прикажуваат повеќе децимални места. Како функционира ова, целосно зависи од користената табела.
Создавање на дијаграм
Со табеларни пресметки можете и графички да ги прикажувате колоните броеви многу убаво. За да го направите ова, обележете ги двете колони А и Б со глувчето и потоа изберете соодветна форма за приказ. На слика 2, избран е типот на приказ "x/y дијаграм". Овој тип на репрезентација создава правилен график на математичка функција што ги покажува вредностите на едната колона (овде Б) во однос на вредностите на другата колона (тука А).
Табелата за броеви претворена во Excel можете да ја преземете тука. Овде не и беше ставена никаква вредност на убавината, па можете да го направите тоа.
Задача 1
Ние сакаме да истражиме колку е голема бактеријата од видовите Ешерихија коли. Спектарниот лексикон на биологијата ни дава специфични бројки: „Бактериите E. coli се прави прачки, 1,1–1,5 × 2,0–6,0 μm (живи)“. За оваа задача претпоставуваме просечна должина од 4 μm и просечна ширина од 1,3 μm. Ние сакаме да ја поставиме висината на таквата бактерија на 1,3 μm.
За да можете да го решите проблемот, треба да знаете што се подразбира под 1 μm. 1 μm или 1 микрометар е илјадити дел од милиметар и милионити дел од метар.
Задача
Ешерихија коли се дуплира на секои 20 минути под идеални услови. Да претпоставиме дека една од овие бактерии може да се размножува слободно преку wallsидови и други пречки за еден ден под идеални услови, колку дебел би бил тогаш слојот на бактерии што би го покривал копното на земјата? Според Википедија, површината на земјата е околу 149,4 милиони км²
вежба 2
Според Зидојчер Цајтунг („Силата на големи броеви“), 1.218 лица во Германија биле заразени со вирусот корона на 10 март 2020 година. На 24 март веќе имало 4.872 заболени лица, на 7 април 19 488 заболени лица и на 21 април 77 952 инфицирани лица.
Задача
Анализирајте ги овие бројки и потоа проценете дали станува збор за експоненцијален раст.
Алтернативи на експоненцијалниот раст се хипер-експоненцијален раст и хипо-експоненцијален раст. Со хипер-експоненцијален раст („хипер“ = над) периодот на удвојување постојано се скратува, додека со хипо-експоненцијален раст („хипо“ = под) периодите на удвојување стануваат сè подолги. Со експоненцијален раст, периоди на удвојување се постојани.
Задача 3
Има добар пример за вистински експоненцијален раст во книгата за биологија: зголемување на популацијата на кранови во Тексас. Еве ги броевите како табела:
| година | Н. |
| 1940 година | 18-ти |
| 1945 година | 17-ти |
| 1950 година | 30-ти |
| 1955 година | 20-ти |
| 1960 година | 31 |
| 1965 година | 42 |
| 1970 година | 55 |
| 1975 година | 48 |
| 1980 година | 75 |
| 1985 година | 90 |
| 1990 година | 145 |
| 1995 година | 155 година |
| 2000 година | 174 |
Задача
Анализирајте ги овие бројки и потоа проценете дали станува збор за експоненцијален раст.
Наставен материјал:
Надворешни врски:
11.03.2012: Креирана страница
05.02.2018: ревидирана страница
24 март 2018 година: Страницата е малку ревидирана.
22.04.2020: Задачи додадени на страницата.