Кога математиката не е за броење

Еден коментар на одговорот што го објавив изјави дека „математиката не е секогаш броење“.

Моите мисли беа дека ако има единица (сантиметри/милиграми/светлосни години итн.), Тогаш тоа е некаде.

Исклучок би бил доколку опишете нешто во самата математика/артмимец како концепт на 2 + 2 = 4. Дефинирано е без потреба од единици, но дава изјава само за себе.

Значи, моето прашање е: Кога математиката не треба да брои нешто?

УРЕДУВАЊЕ ×: Само за да бидам појасен, имаме дискретни податоци, како што е бројот на луѓе во соба, или континуирани податоци, како што е бројот на милји до најблиската куќа со кари (мерење, идеално многу мал во овој случај ).

Мојата намера со ова прашање е дека и двајцата „бројат“ - дискретните податоци се надеваат, а континуираните податоци, би рекол, сè уште „бројат“ со тоа што издвојувате неколку милји (итн.).

Значи, не зборувам за разликата помеѓу дискретни и континуирани податоци. Прашувам повеќе ако/кога математиката не се однесува на нешто во (или а) „реалниот“ свет. Размислувајќи назад, мислам дека мислам „кога нема единици?“

E = mC ^ 2 има единици или тип единица:

Е = енергија = вати/калории/што било

C = брзина на светлината (км/ч и сл.)

Значи, за да се дојде до ова преку некои веројатно тешки математики, еднаш постоеше точка кога формулата нема единица од некој вид.?

7 одговори

Најдобриот пример за математика што не вклучува броеви доаѓа од филозофијата. Предлог-логиката е математика. Како е на некој начин „реално“ за броевите?

Но, современата математика се состои главно од работи што не се нумерички, но се составени од множества правила.

Како екстремен случај, разгледајте ја топологијата. Наједноставната форма на топологија што е опишана е теоријата на графиконот. Оваа дисциплина во голема мера се однесува на сложените врски помеѓу нештата што можат да бидат и сè уште имаат релативно едноставни описи. Вообичаената претстава на графиконот е збир на точки што може да се поместат произволно и линии што поврзуваат некои од нив едни со други.

Раниот основен резултат ги одредува условите што треба да ги поставиме на табела за да ги нацртаме во рамнината. Геометријата е вклучена на апстрактен начин, но без мерења. Значи, ова е прилично чист пример. Единствениот број или мерење релевантни за изјавата на проблемот е „два“, а потоа само како димензија на авион.

Се разбира, графиконите имаат јазли и можете да ги броите. Описите често содржат броеви, а најосновните се однесуваат на работи како „нацртај три точки лево и две десно и поврзи ја секоја точка од едната страна со сите други“. Но, дури и овде, аритметиката се користи само како дел од јазикот, а не како главен актер. Општо, теоретските графички пресметки ретко се нумерички - тие се однесуваат на манипулација со симболи што претставуваат јазли и рабови. (На овој начин тоа е еден вид на исказна логика, обете страни на општото поле на „симболична и комбинаторна логика“).

Важни резултати се, на пример, дали можеме да најдеме примери на графикон со компактен опис во друга мрежа со компактен неповрзан опис. Апликациите се однесуваат на работи како компјутерско вмрежување или одржување на телефонска линија. Производите не се броеви, туку низи на операции како што е компјутерска програма.

Броевите обично се внесуваат само по решавање на проблем, за да се спореди ефективноста на различните решенија.

Како математика, ми предизвика многу болка кога моето семејство мислеше дека само учам како да направам подобро. добро .

Општо, чистата математика (т.е. исклучувањето на применетата математика) може да се смета дека има три главни гранки (иако веројатно станува збор за поедноставување):

Алгебра - како да се користат операции на множества елементи за комбинирање на два елементи во друг елемент (потенцијално различен, потенцијално не)
Геометрија - се однесува на растојанието помеѓу точките и работите што течат од неа
Основи - логика и теорија на множества, кои служат како основа за остатокот од математиката.

Се разбира, броењето се користи за примери во сите полиња, но во самата математика обично работи во поапстрактно опкружување. Тоа е, ние често не работиме со броеви, аритметичко или директно броење, туку повеќе ги разгледуваме работите што ги следат истите правила и мотиви за нештата во таа апстрактна рамка.

На пример, земете го множеството функции со одредени технички ограничувања (на пример, мерливи, интеграбилни или диференцирани. Било кој сет на функции на „добро однесување“). Можете да дефинирате операции врз нив за да ги комбинирате на различни начини (алгебра). Можете да дефинирате вредност што поставува растојание на елементите на овој сет (геометрија). Но, идејата за „броење“ во овој сет е многу неприродна.

Геометријата е наједноставната математика без броеви. Користете само пенкало, владетел (не оданочен, користен за правење права) и компас.

Мислам дека најдобриот начин е да се спореди математиката со природен јазик, а еквивалентното прашање е „Кога јазикот не е за правопис?“.

Броењето е правопис, бидејќи алгебрата е создавање реченици како доказ во есеите.

Одговорот можете да го најдете таму.

Постојат многу комплицирани начини на „броење“ кога станува збор за бесконечност, комбинаторика и така натаму, но повеќето прашања што математиката ги решава се вртат околу конечен пакет основни правила, од кои повеќето не вклучуваат „мерка“, туку наместо резиме, сепак (се надевам) интуитивен концепт. Овие се нарекуваат аксиоми. Дали би рекле дека државата „два реда никогаш не се среќаваат“ е форма на „мерка“? Сепак, тоа е математичка изјава и ние ги дефинираме таквите линии како паралелни (или ортогонални во други контексти).

Дали велите дека неговиот доказ или условите ова да се случи во картезиската геометрија/алгебра, е некаков вид на броење? Одговорот е веројатно не.

Сите примери што ги наведовте се само математики применети во физиката и во реалниот свет, математиката се занимава само со реалниот свет и во најголем дел не се грижи за единиците.

На пример, идејата дека има бесконечно многу примери за примарна употреба (уникатни броеви), логика и нивни својства за додавање на нов факт на базата на знаење што е изградена врз овие аксиоми.

Значи, за да одговорам на вашето прашање, многу малку од математиките се всушност за „броење“.

Секој алгоритам што може да се пресмета може да се моделира како броење. Тоа е многу математика.

Општата идеја за броење беше математички формализирана со употреба на множества наречени редни броеви. Повеќето (ако не и сите) математички објекти можат да се моделираат како множества, а знаеме дека секое добро подредено множество е изоморфно (еквивалентно) на реден број. (Тука, добро нарачаните средства „имаат барем една ставка“ - тоа е, има место да се започне со броење.) Затоа, ако сакате да го изгубите видот од броењето, треба да се справите со комплетите што не се добро нарачани.

Досега ја исклучивме математиката што се пресметува и може да се моделира како добро подреден сет.

Нема сомнение за другите ограничувања, но сега сè ми доаѓа на ум.

Ако припаѓате на училиште кое инсистира целата математика да биде компјутеризирана, тогаш мислам дека сте исклучиле сè.

издание Постојат голем број коментари на други одговори што покажуваат одредена конфузија во врска со природата на броењето. Една посебна конфузија се однесува на добро позната математичка претпоставка наречена Хипотеза на континуум.

Како што споменав во мојот оригинален одговор (погоре), Кантор го формализира концептот на броење со дефинирање на редни броеви. Хипотезата за континуум прашува која е кардиналноста на континуумот. Сите кардиналити се дефинирани како одредени видови редни броеви. Кардиналноста на континуумот е дадена со кардиналноста на добро подредената гарнитура [0,1] (= множество реални броеви помеѓу 0 и 1). Значи, хипотезата за континуитет е апсолутно за броење. Тој се прашува колку нарачки треба да избројам за да ја избројам кардиналноста на континуумот.

Друга конфузија се чини дека е изјавата дека еден модел не кажува ништо за природата на моделот. Јасно е дека сè што може да се моделира како броење е математички изоморфно (еквивалентно) на броењето. Не може да се разбере.