Оптимум за домаќинството
Сега имаме две важни информации за домаќинствата (модели): Од една страна, знаеме што можат да си дозволат. Второ, знаеме што сакаат. Можеме и двете да ги прикажеме графички: Она што можете да си го дозволите, го прикажуваме во просторот за стоки со буџетското ограничување. Можеме да покажеме што сакаат на истиот дијаграм со помош на криви рамнодушност. Со цел да се види како тие најдобро можат да ги исполнат своите желби според буџетското ограничување, двата аспекта треба само да се соберат заедно.
За да го направите ова, го земаме нумеричкиот пример што го користевме при конструирање на буџетската линија. Со приход Е од 1000 евра, домаќинството може да купи стоки X и Y, кои чинат по 5 и 4 евра. Буџетските ограничувања што ги утврдивме се прикажани овде на слика 1. Домаќинството може да плати за пакетот стоки Р со својот приход; Тој можеше да си дозволи С без целосно трошење на своите приходи, а приходот од 1000 ЕУР не беше доволен за купување на пакетот стоки П.
Theолтата област покажува буџетско ограничување на домаќинството со приход од 1000 евра, кое може да купи добро X за 5 евра и добро Y за 4 евра.
Ние сакаме да претпоставиме дека домаќинството има преференции за стоката, што може да се претстави со помош на комуналната функција U = XY. Ова е истата корисна функција што ја најдовме во примерот со ролна-пиво со сирење и за која веќе имаме конструирано криви рамнодушност. Слика 2 прикажува три избрани кривини на рамнодушност за оваа корисна функција. Вредностите на индексот на кривините во бројката за скалата се 5.000, 12.500 и 20.000.
Избрани кривини на рамнодушност за корисната функција U = XY.
На пример, можевме да ги мапираме преференциите на домаќинството со помошната функција U = (XY) 0,5. Ако ја користевме оваа функција, ќе добиевме идентично мапирање за вредностите на индексот на корисност од 70,71, 111,80 и 141,42.
Со комуналната функција U = (XY) 0,5, првиот закон на Госен важи и за двете стоки, бидејќи вторите делумни деривати се негативни. Истите преференции се претставени и со U = XY. Дали законот на Госен важи и за оваа комунална функција?
Сега ги споивме двете размислувања за тоа што сака домаќинството и што може да си дозволи заедно со едноставно поставување на двата дијаграма од Сликите 1 и 2 едни на други (види слика 3). Домаќинството сака да ја постигне кривата на рамнодушност I3 (бидејќи тоа ја покажува најголемата придобивка од нацртаните три криви рамнодушност), но буџетското ограничување не го дозволува тоа. Највисоката крива на рамнодушност што се постигнува е очигледно онаа што влијае на буџетската линија. Претпоставка за рамнотежа (конвексност на кривите на рамнодушност; намалена маргинална стапка на замена) гарантира дека постои јасна тангенцијална точка.
Со комбинирање на буџетските ограничувања и кривите на рамнодушност, се добиваат информациите што посакува домаќинството да ги исполни со дадени цени и приходи.
Тангентната точка е означена на слика 4. Домаќинството постигнува најголема можна корист кога ги троши своите приходи на пакетот стоки P, односно купува 100 X и 125 Y - како што може да се утврди од графиконот со „методот на внимателно разгледување“. Овој пакет стоки или точката П се нарекува оптимал во домаќинството или рамнотежа на домаќинството.
Домаќинството е во рамнотежа кога го троши пакетот P.
во Баланс на домаќинството (или оптимален) се совпаѓаат падините на буџетската линија и кривата на рамнодушност.
Следниот Божиќ дефинитивно ќе дојде .
Користејќи го концептот на рамнотежа на домаќинството, размислете зошто подарокот пари обично (и под претпоставките) е попријатен од подарокот во натура.
Инаку P не би била тангента, туку пресек. Ние го утврдивме (апсолутниот) наклон на кривата на рамнодушност во претходниот дел како однос на маргиналната корисност на X и Y (види слика 6 и равенка [5] таму). (Апсолутниот) наклон на буџетската линија одговара на односот на цените на стоките X и Y (види слика 4). Значи во буџетската рамнотежа тоа односот на маргиналната корисност на двете добра одговара на нивниот сооднос на цените. Оваа изјава важи и за случајот n-стоки, така што може да се формулира општо:
Во оптималното домаќинство, маргиналниот комунален сооднос одговара на секоја цена на нивниот сооднос на цената.
Бидејќи маргиналниот сооднос на корисност одговара на негативната инверзна маргинална стапка на замена, важи и следново:
(Апсолутната) маргинална стапка на замена соодветствува во рамнотежата на домаќинствата со инверзната цена на односот на стоката.
Ова се изјави што звучат чудно и тешко се разбираат. Но, контра примерок појаснува дека мора да биде така. За да го направите ова, разгледуваме случај на Слика 5 во кој домаќинството не е во рамнотежа во точката Р. Односот на маргиналната корисност не се совпаѓа со односот на цените на стоките. Ова изнесува 5/4 = 1,25 и го покажува наклонот на буџетската линија со негативен предзнак. Значи, домаќинството може да си дозволи 1,25 единици повеќе Y со постојани трошоци, ако се откаже од една единица X.
Почнувајќи од Р, домаќинството може да ја зголеми својата корисност, бидејќи може да го размени доброто Y на пазарот за помалку X отколку што би сакало да се откаже во случај на рамнодушност.
Сега е поставена тангента во Р за да може да се препознае како домаќинството би разменувало стока едни со други во случај на рамнодушност. Сината линија a е скоро пет пати подолга од зелената линија b. Значи, во случај на рамнодушност, домаќинството би било подготвено да се откаже од 5 единици X за 1 единица Y. Ако тој навистина откажел 5 единици X, за возврат би можел да купи 6,25 единици Y. Со преовладувачките цени на пазарот, тој може да го размени Y за X многу поевтино отколку што е потребно за рамнодушност. Една единица Y би му била доволна за рамнодушност, всушност тој добива 6,25 единици. Како резултат, тој ќе се искачи нагоре по буџетската линија, т.е. троши повеќе Y и помалку X.
Секој на кого едно јаболко вреди две круши, сигурно ќе му даде круша ако може да размени јаболко со неа. Тоа е прашање на секако. Но, тоа е - едноставно како што звучи - клучот за разбирање на моделот.
Додека тој „талка“ од R во правец на P, потрошувачката на Y се зголемува, а потрошувачката на X се намалува. Врз основа на законот за намалена маргинална стапка на замена, ова доведува до зголемување на вредноста на Y и зголемување на вредноста на X. Додека домаќинството не ја достигне точката П, во принцип, се применуваат истите размислувања како и во точката Р: домаќинството може да разменува стоки на пазарот во подобар сооднос отколку што е потребно за да се одржи неговата употреба постојана. Во самата точка П, тој може да ја размени стоката на пазарот точно во односот што ја одржува неговата употреба константна.
Друг начин да се разјасни зошто R на сл. В 5 не може да биде оптимум за домаќинството е следниот: Ако се движите по кривата на рамнодушност од R во правец на S, придобивката останува постојана Во исто време, сепак, одите под границата на буџетот. Домаќинството веќе не го троши својот целосен приход како во Р. Очигледно тоа значи дека тој „може да ги купи истите придобивки за помалку пари“. Но, тогаш можеби не беше во оптимална ситуација во Р. Спротивно на тоа, домаќинството не може да ги „купи“ придобивките постигнати во Р со износ помал од вкупниот приход. Соодветно на тоа, не е можно подобрување од П. Така P е оптимален. (Оваа аргументација е тесно поврзана со разгледувањето познато под клучниот збор „двоен проблем“: За даденото ниво на комунални услуги I2, приходот е минимизиран по дадени цени. Целта е да се бараат најниски можни трошоци на домаќинствата за да се постигне ова ниво на комунални услуги На овој начин, P се чини дека е рамнотежа на домаќинството - и еднаш не е измамен.)
Проверете дали го добивате истиот резултат со помошната функција U = (XY) 0,5 и потребниот услов за рамнотежа на домаќинството од равенката [1] како во нумеричкиот пример во соседниот текст со комуналната функција U = XY.
Пред г-дин К. да се реши да изгуби тежина, неговата корисна функција беше U = 3S 0,5 A 0,5, каде што S означува чоколадо и A за јаболка. Цената на еден кг чоколадо е pS = 4, цената на еден кг јаболка pA е 2 ЕУР. Г-дин К. троши 200 евра секој месец на јаболка и чоколадо. Според неговата одлука, комуналната функција на г-дин K. U = 4S 0,25 А.
Колку кг помалку чоколадо јаде г-дин К.?
Дискутирајте (со скици):
а) Ако едно домаќинство оптимално троши 21 единица добро x и 42 единици добро y, тогаш доброто x е точно двојно поскапо од доброто y.
б) Ако приходот на домаќинството се зголеми тројно, потрошувачката се зголемува од x на 63, а таа од y на 126 единици
Секој што знае како да зголеми максимум U (x, y) под ограничувањето EВ = В pxxВ + В pyy исто така може да го пресмета потребниот услов за рамнотежа во домаќинството:
За нумерички пример со помошната функција U = XY се добива
и користејќи ја равенката на буџетската линија 1000 = 5x + 4y оптималните величини y * = 125 и x * = 100.
Главниот резултат на овој дел е во две верзии:
Графички: Буџетот е во рамнотежа, каде што буџетската линија ја допира кривата (највисока) рамнодушност.
Аналитички: Домаќинството е во рамнотежа ако односот на маргиналната корист одговара на ценовниот сооднос на стоките (види равенка [1]).
Овој резултат е исто така наречен Втор закон на Госен (синоним: еквимаргинален принцип, правило за маргинална компензација на комунални услуги, закон за изедначување на пондерирана маргинална комунална услуга, закон за гранична компензација на Госен за Госен).
Потребен услов за максимум на функција U (x, y) од две променливи
Во крајната точка А, бесконечно мали промени во вредностите на x и y не доведуваат до промени во вредноста на функцијата.
може да се види графички во точката А на слика 1 дека маргиналните движења паралелни на оските ја одржуваат вредноста на функцијата константна (ова би било случај и на најниската точка на лимонот, така што состојбата не е доволна, туку е неопходна само затоа што важи и за минимум).
Во точката Б, сепак, се препознава дека зголемувањето на вредноста на y ќе ја зголеми вредноста на функцијата. Очигледно во Б еден сè уште не е на највисоката точка на лимонот.
Како резултат на буџетското ограничување, кое е претставено како права како е на сликата, не се можни независни движења dx и dy. Промената во x е поврзана со соодветната промена во y преку односот на цените на стоките (наклон на буџетската линија):
Од графичка гледна точка, ова е синоним за сечење на лимонот вертикално преку e и барање на највисоката точка на исечениот раб.
Равенката [2а] вметната во приносите од [1]
или со зборови: Односот на маргиналната комунална услуга мора да се согласи во рамнотежата на буџетот со односот на соодветните цени на стоките (исто така види. Метод на Лагранж за поелегантен метод).
Можно е алтернативно толкување врз основа на графичкиот приказ на кривата на рамнодушноста и буџетската линија (точка П на слика 4): На кривата на рамнодушност, промената во алатката dU е, по дефиниција, нула. Неговиот наклон може да се даде како [1]
Највисоката крива на рамнодушност се достигнува таму каде што буџетската линија ја допира кривата на рамнодушност. Кривата на рамнодушност и линијата на буџетот можат да се тангираат само ако имаат ист наклон dy/dx (инаку би се пресекле). Наклонот на буџетската линија од [2а] мора да се согласи со наклонот на кривата на рамнодушност од [4]:
На Втор Госен закон од Херман Хајнрих Госен (1810-1858) може да се најде - како и првото, се разбира - во неговото главно дело „Развој на законите за човечки односи и правилата за човечко дејствие што произлегуваат од тоа“ од 1854 година:
Втор закон на Госен
„Лицето кое е слободно да избере помеѓу неколку задоволства, но чие време не е доволно за целосно да ги подготви сите, треба да биде, колку и да е различна, апсолутната големина на овие задоволства, за да се зголеми збирот на своето уживање на најголемо донесе, пред тој дури и целосно да ги подготви најголемите, сите тие делумно се подготвуваат, и во таков процент што количината на задоволство во моментот кога неговата подготовка е прекината за сите сè уште останува иста “.
Денес е познато под различни имиња: Еквимаргинален првинзип, Правило за маргинално изедначување на комунални услуги, Закон за изедначување на пондерирана маргинална корисност, Закон за изедначување на маргинални комунални услуги на Госен.
Дури и ако звучи малку застарено, тој ја опишува точно ситуацијата во која буџетската линија ја допира највисоката крива на рамнодушност. Сепак, Госен сè уште беше убеден во кардиналното мерење на корисноста, така што ќе помислеше дека може да укаже на зголемување на комуналната услуга што ќе резултира ако едно евро се потроши за одредено добро. На аналоген начин, но нешто помодерен од горе, вториот Госен Госен може да се формулира на следниов начин: „Последното евро потрошено за добро x мора да генерира исто зголемување на корисноста во буџетската рамнотежа како и последното евро потрошено за добро“ ако не е така, тогаш придобивката може да се зголеми ако некој потроши едно евро помалку на x и едно евро повеќе на y (или обратно). Првиот закон на Госен тогаш гарантира, доколку се однесува на обете добра, дека постои оптимал. Вториот закон на Госен исто така може да се формулира сосема формално и за кој било број на стоки: „Маргиналната корисност на секое добро поделено со цената на ова добро мора да биде иста за сите добра“.
Госен беше убеден дека луѓето треба само да го следат ова правило за да постигнат најголема среќа. Тој сакаше неговите правила да бидат сфатени како упатства за постапување, припишувајќи им го квалитетот на природните закони. Веројатно и затоа што тој беше еден од првите што ја искористи математиката за да помогне во извлекувањето на неговите резултати. Без нив, според Госен, економијата не би била можна. И, ако можете да го пресметате и да го „докажете“ со тоа, мораше да биде исправно, без сомнение, нели!?
| Часови | В VWLВ | В БВЛВ | статистика |
| 0 | 20-ти | 40 | 80 |
| 1 | 45 | 52 | 90 |
| 2 | 65 | 62 | 95 |
| 3 | 75 | 71 | 97 |
| 4-ти | 83 | 78 | 98 |
| 5 | 90 | 83 | 99 |
| 6-ти | 92 | 86 | 99 |
Мартин Бергман веќе студирал право; тој во моментов се подготвува за средно диплома. Покрај студиите, Б. работи со скратено работно време во адвокатска канцеларија, така што има само 6 часа на ден да се подготви за испитот. Се разбира, тој повеќе не се подготвува за правда. Тој е заинтересиран за најдобра можна средна диплома, чија вкупна оценка се пресметува како едноставен просек на одделните оценки. Тој се сомнева дека со алтернативен обем на работа од 100 можни поени на испит може да ги постигне следниве резултати:
В В.
Како Б. ги дели своите шест часа подготвено време секој ден? Како го добивте резултатот?
Пронајдете слични страници на WWW: