Сеприсутноста на Сиерпински триаголник - спектар на наука

Сеприсутноста на триаголникот Сиерпински

Чудни броеви, чудни форми: делумно тоа е она што ја прави математиката толку привлечна. Дури и почудни - и попривлечни - се изненадувачките врски типични за математиката. Време и повторно, се чини дека работите што се чини дека немаат никаква врска едни со други, се тесно поврзани. Еден од моите омилени примери за ова е триаголникот Сиерпински (слика подолу). Тоа е - според терминологијата на Беноа Манделброт - фрактал: целата фигура може да се подели на делови што се помали копии на целината. Но, триаголникот Сиерпински е поврзан и со колони кривини, триаголникот на Паскал, кулите на Ханој и чудниот број 466/885, што е приближно еднаков на 0,52655.

Полскиот математичар Вацлав Сиерпински (1882–1969) го опиша неговиот триаголник во 1915 година. Лесно е да се нацрта: подели рамностран триаголник на четири триаголници со спојување на средината на страните, а потоа отстранете го средниот триаголник. Повторете го процесот за секој од преостанатите триаголници. Ако го направите ова бесконечен број пати, крајниот резултат ќе биде крива што ќе се сретне самата на секоја од неговите точки. Овој геометриски имот е спротивен на идејата дека таквите криви првично се сметале за „чудовишта“ и патолошки (Spektrum der Wissenschaft 3/1992, стр. 72). Ако го земете многу внимателно, кривата Сиерпински се среќава на секоја од своите точки, со исклучок на трите аголни точки на почетниот триаголник. Но, дури и овој мал недостаток на монструозност беше елиминиран од Сиерпински со спојување на шест примероци од неговиот триаголник за формирање редовен шестоаголник. Неодамна, изненадувачки се појави практична примена на оваа бесконечно нерамна форма: антени (види поле подолу).

Многу порано, во 1890 година, францускиот математичар Едуард Лукас (1842–1891) откри математичка теорема што воспоставува врска помеѓу кривата на Сиерпински и славниот триаголник на Паскал, во кој секој број е збир на двата броја над него. Овие броеви се нарекуваат и биномски коефициенти. Влезот kth во n-от ред (каде што броиме редови и колони почнувајќи од 0) е бројот на различни можности за избор на k од n различни нешта. Лукас праша: Кои броеви во триаголникот на Паскал се парни, а кои се непарни? Зачудувачкиот одговор е видлив на прв поглед: Распоредот на непарните биномски коефициенти изгледа точно како дискретна верзија на кривата Сиерпински (слика подолу; видете исто така Spektrum der Wissenschaft 8/1993, стр. 10).

Интересна импликација е дека скоро сите биномски коефициенти се парни. Тоа е, како што се зголемува големината на Паскалов триаголник, односот на непарните парни коефициенти се приближува до 0. Дејвид Сингмастер од Универзитетот Саут Банк во Лондон ја генерализира оваа изјава и докажа дека за секој природен број m скоро сите биномски коефициенти се делат со m.

Триаголникот Сиерпински - кој тогаш не се викаше така - повторно се појавува во делото на Едуард Лукас. Во 1883 година тој ја пласираше познатата сложувалка на кулите во Ханој под псевдонимот „Н. Клаус“ (за погрешно име ги тресеше буквите од точната). Играта, која долго време ја ценеа аматерски математичари, се состои од осум (или помалку) дискови со различна големина на три стапчиња. Куќиштето со три дискови е прикажано на сликата десно. Дисковите првично се распоредени според големината на една од решетките. Целиот оџак сега треба да се премести диск со диск на друга прачка, при што помал диск никогаш не смее да влезе под поголем диск.

Добро е познато дека решението има рекурзивна структура. Тоа е, решението за загатката Ханој со n + 1 парчиња лесно може да се добие од растворот со n парчиња. Да речеме дека знаете како да ја решите сложувалката со три дискови и треба да го пронајдете решението со четири дискови. Прво игнорирајте го долниот диск и поместете ги горните три дискови на празно стапче, следејќи го - добро познатиот - рецепт за решавање на сложувалката со три дискови. Ставете го четвртиот диск на другиот сега слободен стап и, повторно следејќи го рецептот со три дискови, наредете ги трите горни дискови на четвртиот.

Оваа рекурзивна структура можеме да ја претставиме геометриски - како и секоја игра што дозволува само конечен број на позиции и се движи помеѓу овие позиции. Нацртаме агол за секоја дозволена позиција и раб за секој потег помеѓу двете позиции (или нивните агли), кои со овој потег се претвораат еден во друг. Вкупниот резултат е графикон. Ако, како и во овој случај, воз може исто така да го сврти назад, рабовите не се еднонасочни улици.

Јавете се на графиконот за верзијата со n парчиња Х.н.Како изгледа овој графикон? Ајде да се сретнеме Х.3, т.е. графиконот што ги опишува позициите и се движи во сложувалката со 3 дискови (слика погоре). Ние ги нумерираме дисковите 1, 2 и 3, со тоа што 1 е најмал и 3 најголем. Потоа ги нумерираме лентите од лево надесно со 1, 2 и 3. Под претпоставка дека дискот 1 е на лентата 2, дискот 2 на лентата 1 и дискот 3 на лентата 2. Оваа ситуација на игра можеме да ја претставиме со низата 212 во Броевите по ред означуваат кој прачка е вклучен во дисковите 1, 2 и 3. Фактот дека дискот 3 е под дискот 1 не е веднаш видлив од оваа илустрација, но произлегува од правилата. Секоја позиција во сложувалката со 3 дискови одговара на таквата трицифрена низа. Постојат 3 3 = 27 позиции, бидејќи секој диск може да биде на кој било столб, без оглед на другите.

Кои потези се дозволени од позиција 212? Најмалиот диск на секое стапче мора да биде на врвот. Значи, не можеме да го ставиме дискот 2 на шипката 2, затоа што тогаш тој би лежел на помалиот диск 1. Од позиција 212 можеме да се повлечеме само во позициите 112, 312 и 232. Графикот Х.3 ги прикажува сите можни потези од сите 27 позиции. Се состои од три копии на графиконот Х.2 распоредени во триаголник и поврзани со три рабови.

Секој од графиконите Х.2 е слично поделен на три дела; ова е последица на структурата на рекурзивно решение. Рабовите на кои се трите примероци Х.2 се токму потезите во кои се поместува најголемиот диск. Тројцата Х.2-графиконите, од своја страна, одговараат на можностите само за поместување на двете најмали парчиња - по една копија за секоја можна позиција на третото парче. Истото важи и за сите Х.n: Се состои од три копии на Х.n-1, кои се распоредени во форма на триаголник и се поврзани на аглите. Како што се зголемува бројот на парчиња, графикот сè повеќе личи на кривата Сиерпински.

Со помош на графиконот Х.n можеме да одговориме на сите видови прашања во врска со кулите во Ханој. На пример, графикот е очигледно поврзан - тој се состои од едно парче; така од која било позиција можеме да стигнеме до која било друга. Најкратката патека од вообичаената почетна позиција (еден агол од најголемиот триаголник) до вообичаената целна позиција (друг агол) оди директно по надворешноста на графиконот и има 2 н -1 рабови. Значи, сложувалката е во 2 н -1 се движи решлив.

Пред околу десет години, минхенскиот математичар Андреас Хинц ја пресмета просечната должина на најкратката патека помеѓу кои било две точки на кривата Сиерпински со помош на кулите Ханој. Хинц докажа дека просечниот број на потези со кои се доаѓа од која било позиција во која било друга е против (466/885) 2 н оди кога н станува голема. Следува дека просечното растојание помеѓу две точки на кривата Сиерпински (долж кривината) е 466/885 кога секоја страна од почетниот триаголник е 1. За фановите на статистиката, Хинц исто така докажа дека варијансата на растојанието помеѓу две случајно избрани точки на кривата на единицата Сиерпински е точно 904808318/14448151575.

Библиографија

Четири средби со заптивката на Сиерпински. Од Ијан Стјуарт во: Математичкиот интелигент, том 17, број 1, стр. 52-64, 1995.