Ајде (видиме) едни со други во 4Д - математички покажа четвртата димензија
Материјал изработен од Александру Ламба
Проблемот со проучување на повеќедимензионални тела не е нов. Иако конкретниот свет во кој живееме има само три мерливи материјални димензии, самиот универзум е тродимензионален, концепти како што се „мултиверзен“ или „н-димензионални простори“ се развиени и во светот на уметноста и во точните науки. можеше да каже, и во она на мистицизмот.
Во светот на уметноста, СФ е убедливо најмногу заинтересиран за мултидимензионалност, иако со текот на времето не беше една од неговите омилени теми, туку само корисен концепт. Така, најзгодниот начин за патување низ космосот во СФ останува „црвја дупка“, кратенка низ „преклопување“ на тродимензионален простор во мултидимензионалната мултиверза, но ова е само режим на трансфер, вештачка, не претставува проблем. да се изучува самиот.
Е повеќепросторна геометрија
Иако е интересна и само од оваа перспектива, приказната за која станува збор сака да воодушеви уште еднаш, кога ќе го покрене прашањето: „но понатаму, што ќе биде тоа?“. Токму на ова прашање би сакал да се фокусирам на следново, на најпрактичен и „визуелен“ можен начин. Бидејќи, без разлика дали станува збор за литература, физика или геометрија, што не можеме да ги претставиме, ќе ни биде многу тешко целосно да ги разбереме. И ова и покрај фактот дека светот на науката долго време го прифати фактот дека перцепцијата сама по себе не може да ја дефинира реалноста.
Окото се решава во дел од секундата, доколку се понуди во позната форма, што на умот би му требало со часови да анализира само од равенки или жици. Самиот концепт на графиконот на функцијата го докажува тоа, користен не само во математиката, туку и во економијата или социјалните студии. Така, ако се вратиме на геометријата, мислам дека не е ни чудо што графичката претстава е основа за разбирање.
Се разбира, едноставната слика е неточна и недоволна, но таа е неопходна при решавање на кој било проблем во оваа математичка гранка. Токму за овие графички претстави ќе зборуваме подоцна, обидувајќи се, како што нè поттикнува Едвин Абот Абот уште од деветнаесеттиот век, да визуелизираме што е надвор од нашиот тродимензионален простор. Ние ќе го сториме истото како што направи наставникот по англиски јазик во неговиот литературен пристап (исто така наречен математичка фантастика), почнувајќи од еволуцијата на дводимензионалната во тродимензионалната.
Визуелизација на хиперпросторот
Прво, ќе ги поправиме координатните системи, за повикување, почнувајќи од цртање на тродимензионален систем на картезијански оски на хартија. Како што е познато, планот (лист хартија, на пример) има само две димензии. Сепак, тоа никогаш не не спречи да цртаме и да препознаваме тродимензионални тела, нели? Како точно го правиме ова? Па, многу едноставно: да го залажувате окото, да ги натерате да мислат дека одредени агли се исправни, иако не се. На ист начин, ќе се обидеме да ги измамиме да видат четири-димензионални тела.
Подолу, гледаме како, со додавање на оска под одреден агол (z оска) на системот за координирана рамнина x-y, се добива лажен тродимензионален систем (со сите три оски соодветно нормално), но кој окото го прифаќа како таков без проблеми. Самата човечка визија е рамна, мрежницата е распоредена на површина, а длабочината не се перципира директно, туку преку триагулација и „искуство“.
Окото гледа рамни слики кои, врз основа на претходно познавање на реалноста, ги транспонира во вселената. Па, токму овој несовршен механизам за вид може да ни помогне да го присилиме дури и над реалното. Бидејќи окото може да се увери дека z-оската е надвор од рамнината, може да се увери и дека четири линии се нормални, соодветно. Поточно, постапувајќи како погоре, ќе започнеме од вселенскиот модел на систем на xyz просторни координати, со сите три нормални оски, и ќе ја додадеме четвртата, под одреден агол, а потоа присилувајќи го окото да се видат кои било две од четирите оски како нормални едни на други.
(Со цел да понудите лесно решение за реконструкција, можете да изберете лесно достапни магнетни топчиња и прачки) Така ќе добиеме дефиниран геометриски ентитет од четири димензии, што ќе го наречеме следно. хиперпростор.
Можете ли, ако се обидете, да се убедите дека кои било две оски се нормални? Совршено, ние сме на вистинскиот пат! Покрај тоа, можеме да го принудиме окото да прифати валиден ваков систем на оски дури и нацртан на хартија, цртајќи две оски навистина нормални едни на други и обележувајќи ги другите агли како правилни:
Така, исто како што, додавајќи ја оската z на xy рамнината, го добивме просторот xyz, имајќи три нормални рамнини: xy, xz и yz, додавајќи друга q-оска на просторот xyz, го добивме четиридимензионалниот хиперпростор xyzq, имајќи четири "нормални" простори помеѓу тие: xyz, xyq, xzq и yzq, соодветно шест нормални рамнини: xy, xz, xq, yz, yq и zq. Можете ли да ги прегледате? Постојат секој, визуелно, тродимензионални простори, соодветно планови?
За да се осигураме дека не сме заборавиле ниту еден елемент, можеме да ја користиме комбинаторната пресметка: да имаме број од четири ортогонални оски и да знаеме дека ни требаат две за рамнина и три за простор, проблемот со одредување на нивниот број е ист како решавање Cn k: каде n = број на достапни оски и k = број на потребни оски (C4 2 = 6, во случај на планови на хиперпростор, соодветно C4 3 = 4, во случај на празни места на хиперпростор). Токму истата пресметка е основа за одредување на бројот на рамнини во тродимензионален простор, но, бидејќи е толку чест проблем, решавањето на истиот изгледа како суштинско.
Сега, кога го дефиниравме хиперпросторот, да го населиме, затоа што овде навистина сакавме да одиме: да гледаме четири-димензионални хиперороди. Ние ќе бидеме задоволни во оваа статија со визуелизација на наједноставните од нив, имено правоаголниот хиперпаралелипипед (брат со нееднакви страни на хиперкуба, или тесеракта) и правоаголниот хипертетраедар. Themе ги конструираме врз основа на правоаголниот паралелепипед, соодветно на правоаголниот тетраедар, на ист начин на кој се конструирани вторите врз основа на правоаголникот, соодветно на правоаголниот триаголник.
Правоаголна хиперпалалепипеција
Да почнеме со изградбата хиперпаралелипипедулуи, почнувајќи од едноставен правоаголник во рамнината x-y. Интуитивно, може да се визуелизира како, со „влечење“ или „множење“ на правоаголникот по должината на оската z, се добива правоаголниот паралелепипед. Користејќи ја истата постапка во просторот 4D, ќе го „повлечеме“ паралелепипедот долж оската q, и правоаголниот хиперпаралелипицев ќе се појави како што следува:
За поексплицитна претстава, може да се направи 3Д-модел како подолу, од два идентични паралелепипеди со споени агли на паралелни страни исцртани долж оската q, оној лажно нормален на сите други:
Откако ќе се изработи моделот, ве предизвикувам да ги идентификувате и „визуелизирате“ сите правоаголни паралелепипеди што го ограничуваат овој хиперпаралелипид! Seeе видите дека откако ќе ги убедите очите да прифатат неколку лажни прав агли како правилни, тродимензионалните тела што го „облекуваат“ ова 4Д тело ќе изгледаат нормално како правоаголниците во форма на паралелограм кои затвораат правоаголен паралелепипец нацртан на хартија.
И, бидејќи научен пристап не е комплетен без неколку равенки, предлагам да ги анализирате главните карактеристични големини на овие тела, држејќи ја аналогијата со правоаголникот и правоаголниот паралелепипед. Кои се овие? Па, за правоаголникот (рамна фигура) - областа и периметарот и за паралелепипедот (тродимензионално тело) - волуменот и страничната област.
Забележуваме дека и овие геометриски ентитети се карактеризираат со големина специфична за нивниот простор, дефинирана од максималниот број на достапни димензии. Прво, областа (2D) за правоаголникот и волуменот (3D) за паралелепипедот - величини што одредуваат колку простор субјектите всушност зафаќаат. Тогаш големина несоодветна за тој простор, дефинирана со голем број димензии една единица помала од тој простор, големина што претставува ентитет што геометриски го „затвора“ тоа тело: периметарот (1D) во случај на правоаголникот, соодветно страничната област (2D ) во случај на паралелепипед.
Проширувајќи, хиперпаралелипицетата ќе се дефинира со a хиперволум (4Д) и а страничен волумен (3Д) претставена со збир на волумени на паралелепипеди на неговите екстремитети. Затоа што ако правоаголникот е затворен со отсечки и паралелепипед е затворен со правоаголници, хиперпаралелепипед ќе се затвори со паралелепипеди, нели? Точно, 8-те што ги идентификувавте малку порано.
За почетници, да ги наведеме познатите геометриски формули.
Интуитивно, следејќи ги 2Д и 3Д формулите, барајќи правило и проширувајќи го на 4Д, ќе бидеме во искушение да веруваме дека:
Ова се проверени формули за претходните два случаи. За страничниот волумен на хиперпаралелипипедот не е потребна никаква демонстрација, едноставното следење на паралелепипедите на неговите екстремитети, чиишто формули за пресметување на обемот ги знаеме, се доволни за да се забележи дека интуицијата е точна.
За хиперволумен може да се користи методот на интегрална пресметка за да се демонстрира формулата. По аналогија со пресметување на плоштината со едноставниот интеграл, соодветно со пресметката на волуменот со двојниот интеграл, определувањето на хиперволуменот ќе се изврши со помош на троен интеграл, како подолу. Иако во тројната интегрална математика по волумен обично се прифаќа дека претставува „густина“, четвртата физичка димензија може да ја карактеризира уште подобро.
Поради фактот што ги избравме овие ентитети на таков начин што содржат само паралелни страни, интегралната пресметка станува многу едноставна, сите функции што треба да се интегрираат се, всушност, постојани:
Правоаголниот хипертетраедар
Сега кога ги стопливме умовите со овој многу едноставен случај, да го разгледаме второто тело, имено правоаголниот хипертетраедар. Како и во претходниот случај, ќе продолжиме со набудување како се појавува, почнувајќи од правоаголниот триаголник.
Сега, наместо „цртање“ или „множење“ на триаголникот во рамнината xy по должината на оската z, ќе земеме точка на оската z, на некое растојание од рамнината на триаголникот и ќе го споиме со сите агли. со што се добива правоаголниот тетраедар. Како да го „множиме“ триаголникот, „смалувајќи го“ постојано, до крајната точка. На ист начин, имајќи го предвид овој пат точка на оската q надвор од просторот x-y-z и спојувајќи ја со четирите точки на правоаголниот тетраедар добиени претходно, ќе генерираме правоаголен хипертетраедар.
И во овој случај, за подобар преглед можете да направите 3Д-модел, како подолу, почнувајќи од правоаголен тетраедар и да ги цртате рабовите од секој нејзин агол до точка на q-оската, лажната нормална на сите други. три од xyz просторот: можете ли да ги идентификувате четирите тетраедра што се појавија и да го разграничите 4D телото? Убеден сум дека да.
Релевантните геометриски формули во овој случај би биле:
Повторно, формулите што се покажуваат точни во 2D и 3D.
Латералниот волумен повторно е релативно лесен за докажување, следејќи ја сликата и идентификувајќи ги четирите волумени на правоаголната тетраедра, чии формули ги знаеме, плус волуменот на основниот тетраедар, пресметан со проширената теорема на Де Гуа. И демонстрацијата по пат на интеграција на три волумен за хиперволуменот на хипертетраедар е како што следува (тука работите стануваат малку комплицирани, бидејќи функциите за интеграција, иако се линеарни, веќе не се постојани, но сите се намалуваат со одреден наклон):
За уште подобра визуелизација, слично на процесот со кој тридимензионално тело се проектира во трите рамнини, со што се постигнува претстава во „чисто“, а четири-димензионални тела можат да бидат дизајнирани во четирите 3Д простори, како подолу, со тоа „погледот“ во секое од четирите компоненти на хиперпросторот на проученото хипер тело:
Како ве предизвикувам да моделирате, цртате и анализирате други четири-димензионални тела. И, ако се прашувате зошто би било интересно да имате визуелна претстава на апстрактни тела, дефинирани на повеќе димензии од конкретниот свет, да го кажеме тоа затоа што не можеме да знаеме кога и како ќе нè повикаат посложени светови за да ги истражиме.