Испуштање на кондензатор преку отпорник - Landesbildungsserver Баден-Виртемберг
Доколку учениците сè уште не ја запознале експоненцијалната функција на часот по математика, ќе треба да изберат пристап кон темата преку моделирање со пресметка на повторување.
Ако експоненцијалната функција е достапна, сепак, можете исто така да ја следите патеката прикажана на оваа страница и да ја решите диференцијалната равенка од прв ред.
1.) Дијаграмот на колото.
Процес на полнење
Ако прекинувачот е во позиција 1, кондензаторот се полни од изворот преку отпорник.
Тековната насока е црвено нацртано. Тоа е спротивно од стрелките на часовникот.
Процес на истоварување
Ако прекинувачот е поставен на позиција 2, изворот е "исклучен". Претходно наполнетиот кондензатор сега се испушта низ истиот отпорник.
Тековната насока е зелена нацртано. Во насока на стрелките на часовникот е.
2.) Теоријата на празнење на кондензаторот и диференцијалната равенка.
2.1.) Напонот преку кондензаторот.
Следното се однесува на односот помеѓу полнењето Q на кондензаторот и напонот Uc:
За време на процесот на празнење, напонот Uc преку кондензаторот е единствениот извор во колото.
Колку повеќе кондензаторот се испушта, овој напон станува помал.
2.2.) Колку е голема струјата на празнење?
Следното се однесува на струјата на празнење:
Знакот минус зема предвид дека протокот на струја при празнење има токму спротивна насока како при полнење (види погоре).
2.3.) Тековната јачина е поврзана со промената на полнежот.
Тековната јачина се пресметува според равенката од 2.2. определено со сегашната количина на полнење на кондензаторските плочи Q (t).
Сега полнењето тече од кондензаторот, т.е. количината на полнење Q (t) на кондензаторот станува сè помала и помала. Затоа, струјата I (t) се повеќе се намалува.
На почетокот на процесот на празнење, многу полнење тече од кондензаторот секоја секунда, а помалку полнење подоцна.
Следното се применува:
Оваа јачина на моменталната струја е аналогна на Тековна брзина во механиката.
Можете да дознаете повеќе за ова на страницата Полнење на кондензатор.
2.4.) Диференцијалната равенка на празнењето.
Ако сега ги изедначиме (2) и (3), дојдовме до Диференцијална равенка (DGL) 1-ви ред празнење на кондензаторот.
Ние ја знаеме формата на DGL од 1-ви ред од математиката. ДГЛ на функцијата за раст има на пр. Форма
DGL погоре изгледа слично, лево има дериват, десно е самата функција.
3.) Решението на диференцијалната равенка.
3.1.) Прва ориентација.
За полесно пребарување на вистинската функција, прво треба да ги земеме предвид вредностите на одделните променливи на самиот почеток и на самиот крај на процесот на празнење.
кондензаторот е целосно наполнет.
кондензаторот е испразнет.
3.2.) Функција за правилно решение.
Решението функција на диференцијална равенка е Експоненцијална функција.
Не треба да знаеме многу за нив тука, но тоа е важно:
| Ако изведете експоненцијална функција, таа се репродуцира до префактор. Постојаниот фактор во експонентот доаѓа пред функцијата. (Потсетување: f 'би бил дериват според координата на позиција. Физичарите користат точка f за да го означат дериватот според времето) | |
| За t = 0 s експоненцијалната функција има вредност 1. (Тоа е како 10 0 = 1). | |
| За t = ∞ експоненцијалната функција станува 0. (Ова исто така е како 10-голем број = 0). |
Која е функцијата за правилно решение?
Со малку размислување, лесно е да се дојде до вистинската идеја:
Ако сакате, можете да комбинирате C * Uq за да го формирате почетниот полнеж Qo.
За t = 0 s експоненцијалната функција има вредност 1, така што го добиваме почетниот полнеж Q (t = 0 s) = C * Uq = Qo.
За t = ∞ експоненцијалната функција станува 0, така што полнењето на кондензаторот е исто така 0.
3.3.) Кој е точниот експонент?
Но, каква е вредноста на факторот а во експонентот?
За да го направиме ова, треба да сметаме дека експонентот мора да биде бездимензионален во целина.
Бидејќи времето t има димензија „s“, мора да има димензија „1/s“ и некако да го содржи отпорот R и капацитивноста Ц.
За единиците, ајде прво да го пробаме производот на R и C
(Потребните равенки за трансформациите се наведени погоре):
Скоро во право! Факторот а мора да биде точно реципрочен од него!
Значи, функцијата за решение е сега:
3.4.) Примерок од растворот.
Прво ја изведуваме функцијата:
. и вметнете ја во диференцијалната равенка:
Очигледно нашиот пристап ја решава диференцијалната равенка. Ги пронајдовме вистинските карактеристики за решение.
Значи, тие се:
4.) Полуживотот.
Процесот на истоварување на почетокот е брз. Сепак, потребно е бесконечно време додека не се испразни кондензаторот 100%. Затоа, нема смисла да се наведе времето на испуштање.
Наместо тоа, користете го Полуживот th, тоа е времето во кое кондензаторот е наполнет само половина, т.е. времето што изминува до Uc = Uq/2. Следното се применува:
Забелешка:
Ова е точно исто време кога кондензаторот е само половина полнет за време на процесот на полнење.
Полуживотот за време на процесот на полнење и процесот на празнење се исти.
5. Резиме.
Еве ги кривините и функциите за Процес на истоварување сумирано: