Позициони односи на два круга во помагачи за учење речник на студенти по математика
Два круга не можат да имаат никаква заедничка точка, да се допираат точно во една точка или да се сечат на точно две точки.
Можните пресечни структури се добиваат аналитички со испитување на соодветните кружни равенки за заеднички решенија.
Користење на т.н. Кватрефон, во кои се појавуваат сите можни позициони односи, треба да се дискутираат можните позициони односи помеѓу два круга.
Круговите k 1 и k 4 немаат заедничка точка. Покрај тоа, тие имаат посебна позиција едни на други - го имаат истиот центар. Два круга во оваа позиција се нарекуваат и концентрични .
Круговите k 2 и k 3 имаат точно една заедничка точка. Оваа заедничка точка се нарекува и точка на контакт на круговите k 2 и k 3. Во овој случај, потеклото О е точката на контакт.
Општо, точката на контакт Б на два круга k и k 'секогаш лежи на Прави линии што ги поврзуваат двата центри М и М 'од двата круга, бидејќи да не беше таму, ќе се добие втора точка Б' ≠ Б со огледување на Б на М М ', што исто така ќе лежеше на двата круга. Ова би било во спротивност со единственоста на контактната точка Б.
Круговите k 1 и k 2 се сечат точно на две точки (пресечни точки n).
Бидејќи периметарот на триаголник е јасно дефиниран, два различни круга не можат да имаат повеќе од две заеднички точки. Ова исто така резултира во следната генерална изјава.
- Реченица: Ако два круга k и k 'се сечат на двете точки A и B, правата линија низ A и B е нормална на права што ги поврзува двата кружни центри M 1 и M 2 .
Доказ:
Според горенаведените размислувања, точката А не може да лежи на права линија што ги поврзува двете централни точки. Ако некој сега ја рефлектира точката А на М 1 М 2 ¯, точката на сликата А 'очигледно лежи и на круговите k и k', затоа A '= B мора да се примени.
Сега сакаме позиционен однос на два круга аналитички утврди. Истото важи и за круговите како за правилните и рамнините:
Делови од геометриски објекти се добиваат со барање на заеднички решенија за равенките што ги опишуваат соодветните објекти.
Пресметките потребни за ова не се особено тешки за областа. Меѓутоа, ако работевме со непознати коефициенти воопшто, прегледот ќе се изгубеше многу брзо. Затоа, треба да биде доволен типичен пример во кој се дискутираат сите потребни чекори.
- Пример: Треба да се испита како лежат едни со други кругот со центарот M 1 (0; 3) и радиусот r 1 = 1 L E и кругот со центарот M 2 (3; 0) со радиус r 2 = 7 L E.
Координатите (x S; y S) на можни заеднички точки мора да ги задоволуваат равенките на двата круга, па затоа мора да се применуваат:
(I) x S 2 + (y S - 3) 2 = 1 (I I) (x S - 3) 2 + y S 2 = 7
Сега прво ги решаваме заградите:
(I ') x S 2 + y S 2 - 6 y S + 9 = 1 (I I') x S 2 - 6 x S + 9 + y S 2 = 7
Ако ја одземете втората равенка од првата, сите квадратни поими се изоставени:
6 x S - 6 y S = - 6 b z w. y S = x S + 1 (∗)
Ја ставаме оваа равенка во (I), ги пресметуваме заградите и конечно добиваме:
x S 2 - 2 x S + 3 2 = 0 (∗ ∗)
Во овој момент, сепак, генералниот позиционен однос на двата круга што се разгледуваат е исто така решено во овој пример. Нашите размислувања доведоа до квадратна равенка во x S што не може да има никакво, точно едно или две различни решенија.
Соодветно на тоа, круговите опишани со равенки (I) и (II) немаат, точно една или точно две заеднички точки. Множеството решенија - вклучително и позициониот однос на двата круга - зависи од дискриминаторот Д, за кој важи Д = 1 - 3 2 0 во овој случај. Равенката (∗ ∗) затоа нема вистинско решение и, следствено, на двата круга што ги разгледавме немаат заедничка точка.
Ако решенијата резултираа, y-координатите на заедничките точки може лесно да се одредат со равенката (∗).
Бидејќи квадратната равенка не може да има повеќе од две решенија, два различни круга не можат да имаат повеќе од две заеднички точки. Ова уште еднаш ги потврдува нашите (слики-геометриски) размислувања утврдени погоре.
Забелешка: Ако круговите се опишани со векторски равенки, постапката може да биде аналогна или да се развие соодветна координатна равенка од векторската равенка.