Пресметка на гравитација, формули, примери гравитација, гравитационо забрзување, гравитационо забрзување,
Причините и појавата на феноменот што го нарекуваме гравитација или гравитација нема да се дискутира понатаму во овој момент. Ова е едноставно прашање на пресметување на силата на гравитацијата, која делува на масивно тело кое е на или над површината на сферичното небесно тело. Следните размислувања не се однесуваат на телата што се наоѓаат длабоко под површината (на пример, во многу длабоко вратило), бидејќи гравитационите сили на карпата над и под неа потоа дејствуваат во спротивни насоки. (Меѓутоа, за земјените шахти на реални длабочини, забрзувањето како резултат на гравитацијата на површината може да се користи како добра апроксимација.)
2. Основи
Две тела со маси m_1 и m_2 се привлекуваат едни со други со силата F_G поради гравитацијата, под услов да не дејствуваат дополнителни сили (на пример, електростатски сили) меѓу нив. Ова може да се пресмета од масите m_1 и m_2, растојанието x помеѓу нивните тежишта и универзалната гравитациона константа G:
F_G = m_1 * m_2 * G/x ^ 2 (1)
G = 6,670 * 10 ^ -11 N * m ^ 2/kg ^ 2 (или m ^ 3/kg/s ^ 2)
За тело К кое се наоѓа на површината на небесно тело HK, x е еднакво на радиусот r_HK на небесното тело:
F_G = m_K * m_HK * G/r_HK ^ 2 (1а)
Ако на телото (на пример, камче) му е одземена потпората (паднал), тогаш тоа се забрзува со гравитација со забрзување („гравитационо забрзување“) a_G:
a_G = m_K * m_HK * G/r_HK ^ 2/m_K
a_G = m_HK * G/r_HK ^ 2 (2),
каде r_HK треба да се замени со x = r_HK + h_K ако предметното тело е на висина h_K над површината на небесното тело.
Според равенката (2), a_G не зависи од масата на телото m_K. Затоа, сите тела паѓаат со иста брзина (забрзано), под услов да не се сопираат во различен степен од различен отпор на воздухот.
3. Примери: земја и месечина
3.1 Гравитационо забрзување (гравитационо забрзување) на површината
За земјата важи:
m_Er = (5,9979 + - 0,004) * 10 ^ 24 кг
r_Er = (6,3713 + - 0,0004) * 10 ^ 6 m
(Средна вредност)
Од ова може да се зголеми гравитационото забрзување на нивната површина ("гравитационо забрзување")
a_G, Er = g = m_Er * G/r_Er ^ 2 = 9,82 m/s ^ 2
Всушност, измереното гравитационо забрзување е различно поради ротацијата на земјата. Поради центрифугалната сила, земјата е нешто порамнета на половите, така што r_Er е нешто помал тука и нешто поголем на екваторот. Покрај тоа, почнувајќи од половите, центрифугалната сила што се зголемува кон екваторот се спротивставува на гравитационото влечење.
a_G, Er, Пол = (9,851 + - 0,010) m/s ^ 2
a_G, Er, средна = (9,807 + - 0,009) m/s ^ 2
a_G, Er, Екватор = (9,750 + - 0,010) m/s ^ 2
Следниве вредности се однесуваат на Месечината:
m_Mo = (7,354 + - 0,066) * 10 ^ 22 кг
r_Mo = (1,738 + - 0,001) * 10 ^ 6 m
a_G, Mo, средна = (1,620 + - 0,015) m/s ^ 2
(Средна вредност)
3.2 Гравитациско забрзување на големи височини и сателити: Пресметување на брзината на орбитата во орбитата
Сателитите и вселенските станици обично кружат околу Земјата на надморска височина од „само“ неколку 100 км. Колку е големо забрзувањето a_G на пр. H_K = 250 км надморска височина?
Растојанието од центарот на земјата е 250 км или 250 000 м повеќе отколку на површината на земјата:
x = r_Er + h_K = 6,371,300 m + 250,000 m = 6,621,300 m
a_G = m_Er * G/x ^ 2 = 9,10 m/s ^ 2
На надморска височина од 250 км, забрзувањето поради гравитацијата е сè уште скоро 93% од забрзувањето како резултат на гравитацијата на површината на земјата. Значи, во никој случај не е случај дека веќе нема никаква гравитација „таму горе“. Всушност, идејата дека некое тело би го напуштила гравитационото поле на Земјата или би се иселило од земјиштето на гравитационото поле е погрешна, бидејќи гравитационото поле станува сè послабо со зголемувањето на растојанието, но во принцип се протега бесконечно далеку.
Тогаш, зошто не падне сателит само?
Сателитите се наоѓаат во орбита каде што центрифугалната сила и гравитацијата се во рамнотежа, така што сателитот не се фрла во вселената ниту паѓа. Во наједноставниот случај, сателитската орбита е кружна и центрифугалната сила F_Z може да се пресмета од радиусот на орбитата r_Ba, масата на сателитот m_Sat и брзината на сателитот v_Sat:
F_Z = m_Sat * v_Sat ^ 2/r_Ba (4),
додека гравитационата сила F_G што делува на сателитот следи од (1) и (1а):
F_G = m_Sat * m_Er * G/r_Ba ^ 2
Од F_Z = F_G
(Рамнотежа на силите!) Следува:
m_Sat * v_Sat ^ 2/r_Ba = m_Sat * m_Er * G/r_Ba ^ 2
Со скратување ќе добиете:
v_Sat ^ 2 = m_Er * G/r_Ba
v_Sat = корен (m_Er * G/rBa)
r_Ba = r_Er + h_Ba
е, следи за v_Sat на надморска височина од 250 км:
v_Sat = корен (m_Er * G/(6,371,300 + 250,000) m)
v_Sat = 7761 m/s = 7,761 km/s
3.3 Потребна енергија за да се донесе сателит во орбитата
Сателит на приближно кружна орбита на надморска височина од 250 км се движи околу 8 км подалеку во една секунда, значителна брзина. За да се премести сателит во ваква кружна орбита, тој треба да се помести 250 км нагоре наспроти силата на гравитацијата и, во исто време, да се забрза до неговата орбитална брзина. За сателит од 1 t, ова значи дека следниве количини на енергија мора да му се испорачаат:
Зголемете за 250 км:
прибл. 2,4 * 10 ^ 9 J = 650 kWh
Забрзајте до 7,76 km/s:
приближно 3,0 * 10 ^ 10 J = 8370 kWh
Се на се:
прибл. 3,2 * 10 ^ 10 J = 9020 kWh
За споредба: 9000 kWh е количина на електрична енергија што ја трошат две четиричлени семејства во просек за една година или количина на енергија што се ослободува кога ќе изгори околу 1 тон бензин, дизел или масло за греење.
Всушност, треба да се искористи многу повеќе енергија. Вие не можете само да го опремите сателитот со електричен мотор и кабел за напојување, а потоа да го испратите на патот, мора да го „снимате“ со ракета. Ова значи: Ракетата и горивото исто така мора да се подигнат и забрзаат, сè додека не се исфрлат или потрошат компонентата на ракетата (фаза на ракета) или предметната компонента на горивото. Ова неизмерно ја зголемува потрошувачката на енергија и ова е причината зошто за лансирање на сателит се потребни неколку 100 то гориво и кислород наместо 1 тон гориво (1 т се однесува на керозин, а не на водород) (плус скоро 2 тони кислород за согорување) волја.
3.4 Елипсовидни орбити и брзина на бегство
Повеќето сателитски орбити не се точно кружни, но сателитите се забрзани со малку поголема брзина отколку што беше потребно за кружна орбита. Како резултат, тие се оддалечуваат од земјата (преовладува центрифугалната сила), при што енергијата за зголемување на надморската височина е на штета на нивната кинетичка енергија, при што тие стануваат малку побавни и центрифугалната сила се намалува. Како резултат, во одреден момент гравитацијата ја враќа предноста и сателитот повторно губи надморска височина, забрзувајќи повторно до првичната брзина и играта започнува одново. На овој начин се создава елипсовидна орбита. Брзината на бегство е гранична брзина со која земјата (или друго небесно тело) повеќе не успева да го забави сателитот до тој степен што гравитацијата повторно да ја надмине центрифугалната сила. Станува збор за сателит, тогаш веќе не би бил сателит, туку вистински вселенски брод што ја напушта својата планета, на пример, да се упати кон друго небесно тело.
За да ја пресметаме брзината на бегство, продолжуваме од следниот пристап: Кинетичката енергија E_kin, RF на вселенското летало RF дадена од масата m_RF и брзината на бегство v_RF, fl мора да биде еднаква на разликата помеѓу потенцијалните енергии Dif_E_pot, RF на леталото помеѓу бесконечното растојание и неговата моментална локација:
1/2 * m_RF * v_RF ^ 2 = интеграл [r.unendl.] (M_RF * m_HK * G/r_HK ^ 2 * dr_HK)
По решавањето на интегралот следува:
1/2 * m_RF * v_RF ^ 2 = m_RF * m_HK * G/r_HK
v_RF = корен (2 * m_HK) * G/r_HK
Не е важно дали леталото се движи нормално од небесното тело со брзина на бегство или по спирална патека. Ако леталото продолжи да лета без погон, неговата брзина се намалува со зголемување на растојанието од небесното тело до таа мерка што неговата брзина е секогаш иста со брзината на бегство важечка за тековната далечина.
За земјата, брзината на бегство на површината (чисто теоретски, бидејќи таму едно тело е забавено од воздушното триење) е 11189 m/s, на 300 km висина 10934 m/s. Во пракса, сепак, вселенската сонда ќе се забрза до малку поголема брзина, така што ќе се оддалечи од земјата кон својата цел доволно брзо.
3.5 Месечини и сателити на Месечината
Заради значително помалата гравитација на Месечината, месечевите сателити поминуваат со далеку помала брзина на орбиталата отколку сателитите на земјата. Мајките Аполо, на пример, кружеа околу Месечината на надморска височина од околу 15 км. Претпоставувајќи кружна орбита, ова резултира со брзина од 1673 m/s. За да се достигне таква орбита, треба многу помалку енергија од орбитата околу земјата, па затоа беше можно да се вратиме на мајчиниот брод со релативно малиот модул за ресетирање. Но, дури и тука, скоро половина од тежината на полетувањето ја сочинуваше горивото.
Доколку ви се допаѓа, самите можете да ги пресметате соодветните податоци за Марс од m_Ma = (6,418 + - 0,024) * 10 ^ 23 kg и r_Ma = (3,38 + - 0,02) * 10 ^ 6 m.
3.6 Неутрална точка помеѓу земјата и месечината
„Неутралната точка“ помеѓу земјата и Месечината е точката на права линија од земјата до Месечината во која гравитационата сила на Месечината и Земјата само се балансираат, така што тело што би било таму од една страна ниту би бил привлечен кон другото небесно тело. Пресметката за тоа каде е оваа точка е со o.A. Равенки (скоро) ветре.
Бидејќи Месечината е исто така еден вид сателит (иако прилично голем), и таа се движи во орбита околу земјата, имено во малку елиптична. Бидејќи орбитата на Месечината не е точна кружна патека, растојанието помеѓу Месечината и Земјата варира во одреден опсег, поточно помеѓу 363 000 и 406 000 км. За понатамошна пресметка избираме просечно растојание од 384.403 км.
И сега пресметката: На „неутралната точка“ помеѓу земјата и Месечината, забрзувањето како резултат на гравитацијата на обете небесни тела е исто:
Со равенка (2), ако x_Er, NP и x_Mo, NP се растојанијата од земјата или месечината до „неутралната точка“:
m_Er * G/x_Er, NP ^ 2 = m_Mo * G/x_Mo, NP ^ 2
Скратувањето и трансформацијата на равенката дава:
x_Er, NP ^ 2/x_Mo, NP ^ 2 = m_Er/m_Mo
x_Er, NP/x_Mo, NP = корен (m_Er/m_Mo)
Со вредностите за m_Er и m_Mo добивате:
x_Er, NP/x_Mo, NP = 9.017
„Неутралната точка“ е добра 9 пати подалеку од земјата отколку од Месечината.
За да ја изразиме целата работа во км, претпоставуваме просечно растојание Месечина-земја од 384.403 км:
x_Er, NP = 384.403 км * 9.017/(9.017 + 1) = 346.028 км
x_Mo, NP = 384.403 км * 1.000/(9.017 + 1) = 38.375 км
x_Er, NP + x_Mo, NP = 384.403 км
4. Пресметка на гравитационото забрзување од површинската гравитација
Масата на небесното тело HK не е позната. но неговото гравитационо забрзување на површините a_G, HK, Oberfl, тогаш гравитационото забрзување a_G (h) на висина h може да се пресмета како што следува:
a_G (h) = a_G, HK, Oberfl * r_HK ^ 2/(r_HK + h) ^ 2)
5. Извори (броеви и податоци)
Weast: Прирачник за хемија и физика, 64-то издание, CRC Press, 1983-84