На пример, на ...
Интеракциите се контрасти кои произлегуваат од производ на други контрасти. Контрастите ни помагаат да разбереме дали ефектите што ги наоѓаме преку други контрасти зависат од карактеристиките на другите фактори. Ајде да проследиме неколку примери:
- Може да биде дека ефективноста на стратегијата за учење зависи од претходното знаење на ученикот. Учениците со високо ниво на претходно знаење имаат корист од стратегијата за учење; учениците без претходно знаење немаат корист од стратегијата за учење.
- Во природата, ефективноста на различните видови ѓубрива комуницира во зависност од тоа дали ѓубривото е додадено во зима или пролет. Бидејќи растенијата тешко растат во зима, ѓубривото не работи во зима, но работи во лето.
- Исто така, може да биде дека ефективноста на различните диети зависи од полот на личноста. Додека диетата 3 е поефикасна кај мажите од диетата 2 и диетата 1, овој ефект не се среќава кај жените.
Затоа, интеракциите ни овозможуваат да поставиме поспецифични прашања во врска со собата на податоци и да поставиме гранични услови за ефектите. Во овој дел ќе се обидеме попрецизно да ги разбереме интеракциите користејќи го линеарниот модел.
10.3.1 Главни ефекти и специфични контрасти
Прво, да почнеме со поедноставно толкување на главните ефекти. Постапката за проверка на главните ефекти не се разликува од нашата постапка во претходните модули. Создаваме два модела (продолжен и компактен) и користиме Ф-тест за да провериме дали дополнителните параметри ги намалуваат грешките над просекот. Бидејќи коефициентите на овие параметри овозможуваат конкретно толкување, можеме да ги искористиме за да одговориме на статистички прашања. На пример, со т-тестот за независни примероци, можевме да ги тестираме разликите во просекот, бидејќи коефициентот \ (b_1 \) ги претставува просечните разлики. За возврат, ги проверуваме главните ефекти со отстранување на сите контрасти од проширениот модел и со тестирање на разликите во карактеристиките на факторот:
| \ (\ ламбда_) | Диета 1/2 наспроти диета 3 | 1 | 1 | -2 | 1 | 1 | -2 |
| \ (\ ламбда_) | Диета 1 наспроти диета 2 | 1 | -1 | 0 | 1 | -1 | 0 |
| \ (\ ламбда_) | Мажи наспроти жени | 1 | 1 | 1 | -1 | -1 | -1 |
| \ (\ ламбда_) | Интеракција \ (\ lambda_ \) и \ (\ lambda_ \) | 1 | 1 | -2 | -1 | -1 | 2 |
| \ (\ ламбда_) | Интеракција \ (\ lambda_ \) и \ (\ lambda_ \) | 1 | -1 | 0 | -1 | 1 | 0 |
Овој следен пар модели, на пример, тестира дали диетите се разликуваат по нивната ефикасност. Бидејќи два контраста ја опишуваат ефективноста на диетите, ги отстрануваме во компактниот модел со цел да го провериме главниот ефект на диетата:
Специфичните контрасти ни овозможуваат да тестираме специфични хипотези. На пример, прашањето дали диетата 3 е подобра од диетата 1 и 2?
\ [\ \ \ започнете \ капа & = b_0 + b_1 * X_1 & + b_2 * X_2 + b_3 * X_3 + b_4 * X_4 + b_5 * X_5 \\ \ капа & = b_0 & + b_2 * X_2 + b_3 * X_3 + b_4 * X_4 + b_5 * X_5 \ крај \]
10.3.2 Бета коефициенти во интеракции
Многу е потешко да се разбере што значат параметрите во интеракциите. Да го разгледаме контрастот \ (\ lambda_):
| \ (\ lambda_ \) | Диета 1/2 наспроти диета 3 | 1 | 1 | -2 | 1 | 1 | -2 |
| \ (\ ламбда_) | Мажи наспроти жени | 1 | 1 | 1 | -1 | -1 | -1 |
| \ (\ ламбда_) | Интеракција \ (\ lambda_ \) и \ (\ lambda_ \) | 1 | 1 | -2 | -1 | -1 | 2 |
| \ (\ ламбда_) | Интеракција \ (\ lambda_ \) и \ (\ lambda_ \) | \ (1 * 1 \) | \ (1 * 1 \) | \ (1 * (-2) \) | \ (1 * (-1) \) | \ (1 * (-1) \) | \ ((- 2) * (-1) \) |
Формално, знаеме дека тежините на контрастот се множење на другите контрасти. Следно, да се обидеме да го пресметаме бета-коефициентот за контраст:
Прво, треба да ги најдеме групните средства:
| 1 | 0 | -3.050000 |
| 1 | 1 | -3.650000 |
| 2 | 0 | -2.607143 |
| 2 | 1 | -4.109091 |
| 3 | 0 | -5.880000 |
| 3 | 1 | -4.233333 |
Користејќи ги овие средни вредности, сега можеме да го пресметаме бета-коефициентот:
Бета коефициентите на целиот модел се:
Сега ги конвертиравме контрастните тежини за нашиот проширен модел во рамка за податоци. Потоа можеме да ги пренесеме овие контрасти на функцијата lm за да ги пресметаме параметрите:
Ова резултира во следниот модел:
\ [Y_i = -3,92 + 0,567 * X_1 + 0,004 * X_2 -0,076 * X_3 -0,4449 * X_4 + 0,225 * X_5 \]
10.3.3 Значење на бета коефициентот на контраст \ (\ ламбда_)
За да разбереме што значи бета коефициентот на интеракција, помага прво да се помине низ поедноставниот пример за контраст \ (\ ламбда_):
| \ (\ ламбда_) | Диета 1/2 наспроти диета 3 | 1 | 1 | -2 | 1 | 1 | -2 |
Коефициентот \ (0,567 \) се залага за разликата во просечната вредност помеѓу групите Диета 1 и Диета 2 и Група 3. Ние го користиме овој контраст за да провериме дали Диетата 3 доведува до поголемо намалување на тежината од другите две диети. За да го поддржиме ова тврдење, ја преформулираме пресметката на бета-коефициентот:
За нашата хипотеза Диета 3 наспроти Диета 1/2, коефициентот е:
Со правење мала алгебра, можеме да го претвориме коефициентот во следнава форма:
Потоа, секоја страна ја делиме на 2:
- \ (\ frac_ + \ bar _> \) не е ништо друго освен средната вредност на луѓето кои примале диета 1.
- \ (\ frac_ + \ bar _> \) е просекот на луѓето кои примале диета 2.
- \ (\ frac_ + \ bar _> \) е просекот на луѓето кои примале диета 3. Значи, можеме да ја преформулираме равенката со давање на овие пресметки како што значи групата:
Коефициентот не проверува ништо повеќе од прашањето дали просекот на групата 3 е еднаков на просекот на другите две диетални групи:
За да поминеме низ бета коефициентот на интеракција, сега ќе направиме слична работа.
10.3.4 Значење на бета коефициентот на контраст \ (\ ламбда_)
Да го примениме истиот принцип на првата интеракција \ (\ lambda_ \). Интеракцијата тестира дали ефектот Диета 3 наспроти Диета 1/2 зависи од тоа дали диетите се даваат на мажи или жени.
| \ (\ ламбда_) | Интеракција \ (\ lambda_ \) и \ (\ lambda_ \) | 1 | 1 | -2 | -1 | -1 | 2 |
Параметарот \ (b_4 \) се пресметува на следниов начин:
Со делење на броителот и именителот со по 2, добиваме:
Сега можете да видите дека во заградите е истото прашање што си го поставивме со \ (\ lambda_ \). Дали диетата 3 е поефикасна од диетата 1 и диетата 2?
Овој пат, сепак, се прашуваме дали разликата во овие диети е иста кај мажите и кај жените?
И коефициентот \ (b_4 \) се однесува токму на ова прашање. Во нултата хипотеза, претпоставуваме дека нема разлика помеѓу оваа разлика:
Откако Ф-тестот е значаен, претпоставуваме дека ефектот на Диета 3 наспроти Диета 1/2 е различен кај мажите и жените. Во овој случај, ние пресметуваме едноставни ефекти за да откриеме што е разликата.
10.3.5 Визуелизација
За подобро разбирање на интеракциите, често се препорачува да се погледне визуелизација на средните вредности. Визуелизацијата треба да изгледа како диетата да е претставена на X-оската, а намалувањето на тежината е претставено на Y-оската. Индивидуалните линии го означуваат полот. Прво треба да ја пресметаме мерката за разлика во намалувањето на тежината и да ги претвориме факторите во фактори во R:
Следно ги пресметуваме средните вредности за секоја група:
И визуелизирајте ги средните вредности на групата:
Всушност, се чини дека ефектот на диета 3 кај жените е многу подобар отколку кај мажите. За да ја тестираме оваа интуиција, пресметуваме едноставни ефекти по значителна интеракција.
10.3.6 едноставни ефекти и пост-хок анализа
Интеракциите едноставно ни кажуваат дека постои разлика во еден ефект во зависност од сериозноста на друг фактор. Сепак, тие не ни кажуваат која е таа разлика. За ова, ние пресметуваме или едноставни ефекти или пост-хок тестови.
Едноставните ефекти не се ништо повеќе од анализи на варијанса што ги пресметуваме за неколку вредности на факторот. На пример, би можеле да ја тестираме контрастната диета 3 наспроти диетата 1/2 во еднонасочна анализа на варијанса кај мажи и жени.
Во пост-хок тестовите, обично ги споредуваме сите можни групни парови едни со други и ги проверуваме за значењето. Или да кажам на друг начин: Пресметуваме т-тест за секој групен пар и го коригираме нивото на алфа со цел да избегнеме инфлација од грешка од типот I. Thisе се вратиме на ова подоцна во деталниот пример.
Исто така, проверете дали главните ефекти на интеракциите не можат да се толкуваат, бидејќи главните ефекти зависат од карактеристиките на друг фактор. Затоа, секогаш е препорачливо да се пријавуваат едноставните ефекти за време на интеракциите и да не се толкува главниот ефект.