Процеси на раст и раст

sp, вер. 010, 2019-04-19

Линеарен раст

Кај линеарен раст стапката на промена е константа k: f '(t) = k

Заради f '(t) ≈ Значи следува Δf/Δt = k: Δf = k? Δt, d Х. зголемувањето Δf е пропорционално на временскиот период Δt. k се нарекува и пропорционална константа, k јасно го опишува наклонот на права линија.

Забелешка: Разликите се разбираат со Δf или Δt:

Δt: = t₂ - t₁
Δf: = f₂ - f₁: = f (t₂) - f (t₁).

ДГЛ: f '(t) = k> Решение: f (t) = k? t + C

пример: Јас плаќам 5 € на сметка секој месец: f (t) = 5? t + C со t во месеци. Константата C се одредува од состојбата f (0) = C (толкување?).

Експоненцијален раст

Кај експоненцијален раст дали стапката на промена е пропорционална на тековната залиха: f '(t) = k? f (t)

На а експоненцијално растечката големина f (t) исто така ја менува стапката на раст (Зошто?), Затоа тековната залиха f (t) расте во истиот временски период Δt за истиот фактор b: f2 = b? f1 > b = f2/f1, апликација: Тест за колични!

ДГЛ: f '(t) = k? f (t)> Решение: f (t) = a? e kt со a = f (0) = почетна залиха и k: фактор на раст.

пример: Млекото е (според регулативата за квалитет на млеко) поделено во две класи на квалитет 1 и 2. Млекото од 1 степен содржи до 100 000 микроби на мл. Во топла средина (20 ° C до 30 ° C) микробите се размножуваат експоненцијално.

Вежби за овој пример

(1) Ние сметаме на млеко од квалитетна класа 1: По т = 5 часа има околу 700 000 микроби на мл. Опишете го примерот со експоненцијална функција g (t) (со t во часови!)
(2) Објаснете што опишува функцијата g (t) во фактички контекст.
(3) Одреди ја стапката на промена на растворот во (1). Интерпретација во фактички контекст?
(4) Млекото станува кисело кога содржи приближно 1.000.000 микроби на мл. Пресметајте кога млекото ќе стане кисело.
(5) Објаснете како да се одреди времето на удвојување tD. Интерпретација во фактички контекст?

продлабочување: Патека за учење до експоненцијален раст и намалување на процесите
> Вежба 2.4 Ладењето е корисно тука

Excursus: тест за количник

За еднакви временски интервали Δt, количникот на вредностите на функцијата мора да биде f (t2)/f (t1) постојана биди: f (t2) = b? f (t1)

Пример: t1 = 3, t3 = 5, f1 = 10, f3 = 4,9> 4,9/10 = 0,49 = b? b = b² - b = v 0,49 = 0,7> b = 0,7 = e k - k = ln (0,7) = -0,3567> f (t) = a? e -0,3567t со a = f (0)

Белешка: Во примерот, f3 = b? б? f1 = b²? f1 (и f2 = b? f1)

Ограничен раст

Кај ограничен раст стапката на промена е пропорционална на разликата помеѓу залихите f (t) и Ограничи Г., така до можниот остаток: f '(t) = k? (G - f (t))

На ограничен раст може со функцијата f (t) = G + b? e -kt (со b 0) може да се опише. Од ова произлегува: f (0) = G + b = Баланс на отворање

ДГЛ: f '(t) = k? (G - f (t))

пример: На пациентот му се дава лекови преку капе. Се претпоставува дека пациентот

Апсорбира 4 мг/мин од лекот
5% од лекот што моментално е присутен во крвта се излачува преку бубрезите.

Вежби за овој пример

(1) Максималната количина на лекот во крвта не смее да надмине 80 mg, почетната вредност е f (0) = 0. Со оваа информација дадете функција за раст f (t) (t во мин).
(2) Објаснете што опишува функцијата за раст во фактички контекст.
(3) Објаснете во кој момент се зема предвид внесувањето на лекови од 4 mg/min.
(4) Одреди ја точката во времето t во која се достигнати 90% од максималната вредност.

Да вежба: Во Корнелсен Q1 (волумен Lk) има пример на стр. 158/159. > Корисни задачи: стр. 161/9 и стр. 162/12.

Логистички раст

Кај логистички раст стапката на промена е пропорционална на акциите f (t) и на преостанатите акции G - f (t):

f '(t) = k? ѓ (т)? (G - f (t)) (со k> 0).

Тука G повторно се залага за горната граница.

Функцијата за раст е: $ $ f (t) = \ frac> $ $

Од функцијата за раст се чита за t = 0 (интерпретација?): $ F (0) = \ frac $

ДГЛ: f '(t) = k? ѓ (т)? (G - f (t))

пример: Во овој пример сметаме за родно племе во прашума. 5000 автохтони луѓе живеат тука, изолирани од надворешниот свет. Еден од староседелците добива многу заразен (но безопасен!) Грип. Четири недели подоцна има 300 болни лица.

Вежби за овој пример

(1) Оправдајте ја претпоставката за логистички раст во овој пример.
(2) Пронајдете ја функцијата за раст f (t) (t во недели).
(3) Пресметајте ја точката во времето t во кое се разболе половина од домородното население. (> Интерпретација во фактички контекст?)
(4) Определете го просечното зголемување на болните луѓе (неделно) во првите 2 месеци.

Да вежба: Во Корнелсен Q1 (волумен Lk) има пример на стр. 163/164. Корисно како задачи: стр. 165/бр. 14 и 15.

Белешка за нотација: Експонентот на експоненцијалната функција: k? G? T станува z. Б. во Корнелсен исто така напишано како што следува: q? t со q = k? G (каде Корнелсен ја користи буквата k наместо q!).

Отровен раст

Кај отруен раст растот на популацијата е инхибиран, што може да доведе до истребување на населението. Пример може да се најде во работата на 2-ри курсеви (> перорални лекови).

Надворешно затруен раст: Тука количината на отров се зголемува пропорционално на времето t (> c? T), додека факторот на раст (k - c? t) целокупното се намалува со текот на времето. За стапката на промена добиваме: f '(t) = (k - c? T)? f (t)

Функцијата за раст е: f (t) = a? е kt - 0,5? в? t 2 со a = f (0) = почетно салдо

пример: Додека логистичкиот раст се заснова на претпоставката дека постои горна граница G за раст, во случај на епидемија на грип, поверојатно е дека бранот на грип полека се смирува. Ова зборува за затруениот раст: Ние ја бележиме инфекцијата (= раст) преку стапката на инфекција k, „количината на отров“ одговара на овој пример на стапката на опоравување в.

Вежби за овој пример

(1) На почетокот, 10 лица се заразени, стапката на инфекција е 0,25. Функцијата f (t) го брои бројот на заразени лица во 100. Одреди ја функцијата за раст f (t) (t во денови) ако има 24 заразени лица по 5 дена.
(2) Покажете со скица дека функцијата за раст од (1) соодветно ја опишува епидемијата на грип.
(3) Определете го максималниот број на заразени лица.
(4) Одредете го времето на максимално зголемување на бројот на заразени лица и времето на максималното намалување.

Да вежба: Во Корнелсен Q1 (волумен Lk) задачите стр. 152/5 и стр. 179/4. Понатамошни задачи за отруен раст: стр. 183/12 и 13.

продлабочување: Отровен раст (напис на Википедија)

Белешка за функцијата за раст: Видот на функцијата за раст секако зависи од стапката на промена (т.е. од ДГЛ!). Покрај горенаведената функција за раст f (t) = a? е kt - 0,5? в? t 2 за надворешно затруен раст, можни се уште две класи на функции:

f (t) = (a + b? t)? e –ct, односно збир на експоненцијални функции.
f (t) = а? (e –pt - e –qt), т.е. разлика помеѓу експоненцијалните функции (> видете работа на втор курс!).

Пополни на празното место

Со линеарен раст, стапката на промена е постојана, т.е. _______________________. Затоа количникот од ____________________________ е секогаш ист.

Со експоненцијален раст, стапката на промена е пропорционална на акциите, т.е. ____________________. Затоа количникот од __________________ е секогаш ист.

Лево

Јохен Пелац: Раст и распаѓање: Нуди резиме на темата процеси на раст.

Има многу (!) Материјал на веб-страницата на Г. Рулфс:

Процеси на раст или раст
Добар преглед на темата Процеси на раст.

>> Работен лист со задачите погоре.

Извори на примерите:

Експоненцијален раст: заснован на EdM Hessen, основен и напреден курс (2011), стр. 112/бр. 3
Ограничен раст или логистички раст: Врз основа на LS Analysis Lk (2001), стр. 292/бр. 6 или стр. 296/Бр. 7-ми
Отруен раст: Врз основа на математика Анализа на нови патеки II (2011), стр. 268/Бр. 13 (види исто така Нови патеки, стр. 321!)

решенија

Пополни на празното место

Со линеарен раст, стапката на промена е постојана, т.е. во исти временски периоди Δt еден има исто зголемување Δf. Затоа количникот е исклучен Δf и Δt секогаш исто.

Со експоненцијален раст, стапката на промена е пропорционална со залихите, т.е. во истите временски периоди Δt, f (t) се зголемува за истиот фактор (или за истиот процент). Затоа количникот е исклучен (f2/f1) (или. f (t2)/f (t1) ) секогаш исто.

решенија функциите за раст