Случајни варијабли, дистрибуција на веројатност • Математика-Бринкман

Во последната статија, Комбинаторика, се занимававме со нарачани и нарушени примероци со и без замена. Во овој пост ќе го научиме тоа Знајте формули за случајни променливи, дистрибуција на веројатност, очекувана вредност. Така можете да z. Б. кај Изјави за коцкање за очекуваната добивка или загуба направи Со многу примери.

Две коцки (една сина и една зелена) се фрлаат заедно 400 пати.
Фреквенциите за поединечни резултати се наведени во табела.
На секој од паровите со броеви (1 | 1)… (6 | 6) може да им се додели збирот на нивните броеви.

Релативните фреквенции на збировите треба да се споредат со веројатноста за нивно појавување.
Овој факт треба да биде прикажан во табела и табела со шипки.

Релативните фреквенции за индивидуалните суми на окото обично не отстапуваат многу од пресметаните веројатности. Предуслов е, секако, соодветно голем број на обиди.

Дефинирање на случајна променлива:

Табела на вредности на случајна променлива за фрлање две коцки, чиј број е додаден.

Ако, при фрлање две коцки, на секој резултат му се додели збирот, се создава случајната променлива X.
Ако некој ја додели својата веројатност на секоја вредност на овие случајни променливи, се создава дистрибуција на веројатност (функција на веројатност). Распределбата или распределбата на веројатноста на случајната променлива може да биде претставена со табела и хистограм.

Дефиниција на дистрибуција на веројатност

Функционална илустрација, на пример, фрлање две коцки, од кои вкупно се формира.

Со помош на веројатноста некој би сакал да z. Б. даваат изјави за очекуваната добивка или загуба во игрите на среќа. Се поставува прашањето: каков профит може да се очекува по натпревар ако се игра почесто?

Пример:

За да го илустрираме ова, ајде да погледнеме повторно во збирот на двете коцки.
Можете да го претворите во игра на среќа правејќи го следново правило:

Правило:

Вкупното постигнато при едно фрлање се исплаќа во евра.

Операторот на играта секако мора да размисли колку мора да биде голем влогот по игра за да не претрпи загуба.
За да го направите ова, тој мора да знае колкава сума треба да исплати во просек по натпревар за голем број игри. Барем влогот мора да биде толку висок.

Слично на просекот од дистрибуција на фреквенција во описна статистика, може да се формира вредност со множење на износите за исплата со нивните веројатности.

Оваа вредност ја нарекуваме очекувана вредност .

За нашиот пример, вредноста 7 значи дека со голем број игри, во просек треба да се исплатат 7 € по натпревар.

Операторот на играта затоа мора да бара најмалку удел од 7 € по натпревар за да не претрпи загуба.
Износите за исплата или исплатите одговараат на случајните променливи
X со вредностите: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12

Сега да ја погледнеме играта од гледна точка на играчот, кој треба да плати 7 евра по натпревар.
За него, профитот се пресметува на следниов начин:
Добивка = исплата - удел.
Профитот сега одговара на случајна променлива што ја нарекуваме Y, т.е.
Y со вредностите: -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5
Ова значи дека сега може да се одреди очекуваната вредност за профитот.

Очекуваната вредност за победа е 0. Ова значи дека на долг рок играчот не освои ништо. Но, ниту тој не губи ништо. Шансите се изедначени.

Формула: Очекувана вредност на X

Забелешка:

Дали е E (X)

> 0, вака играта се нарекува поволна за играчот.
= 0, така играта се нарекува фер .
неповолен (нефер) за играчот.

Коментари за очекуваната вредност:

Очекуваната вредност е очекуваната просечна вредност на X во серија случајни обиди.
Додека средната вредност - количина од описната статистика - се однесува на минатото, т.е. на вредностите што всушност се случиле во примерокот, очекуваната вредност опишува количина што се однесува на иднината, т.е. количина со која треба да се очекува на долг рок.

Како и со средната вредност, очекуваната вредност во многу случаи не е една од вредностите што може да ги претпостави случајната променлива X.

Пример и вежби

Во училишниот двор на стручен колеџ, интересни игри на среќа се случуваат одвреме-навреме, и покрај забраната.
Правила на игра:
Влогот по игра е 2 €.
Играчот прво става еден од броевите 1, 2, 3, ..., 6.
Потоа фрла коцка три пати.
Ако заглавениот број падне

не, влогот е изгубен.
еднаш, тој ќе си го врати влогот.
двапати, тој добива двојно поголем удел.
три пати, тој добива трипати поголем удел.

Веројатно најважното прашање што се поставува во оваа игра е прашањето за можноста за победа. Ова е она што сите студенти сакаат да го знаат, и оние кои играат и оние кои имаат банка. На ова прашање може да се одговори со помош на теоријата на веројатност.
Случајната променлива X е нето добивка, што е износот што треба да му се исплати на играчот минус уделот од 2 €.

Со помош на дијаграмот на три нивоа на дрвото и правилото за патека, можете да ја пресметате веројатноста за профит или загуба.
Се применува следново: G = профит, V = загуба.

За да се пресметаат изгледите за профит, се множат вредностите на случајните променливи со нивната поврзана веројатност и се додаваат резултатите:

Пресметаниот број -1 вели дека на долг рок, т.е. со многу повторувања на играта, може да се очекува загуба од 1 евро по игра за играчот.
Секако, банката ја собира оваа сума.
Поради оваа причина, играта се нарекува и нефер, бидејќи профитот и загубата не се балансираат на долг рок.
Добивката и загубата ќе бидат избалансирани со просек од 0. Тогаш тоа би било фер игра. Ова може да се постигне, на пример, со зголемување на профитот.

Вежба 1:

Очекуваната вредност за играта со коцки претставена погоре беше E (X) = -1.
Значи, играта е нефер.
Колку би требало да бидат влоговите за играта да се нарече фер?
Исплатените износи остануваат исти:
Ако заглавениот број падне

не, исплатата е 0 €.
еднаш, исплатата е 2 €.
двапати, исплатата е 4 €.
три пати, исплатата е 6 €.

Вежба 2:

Секој билет победува !
На церемонијата на дипломирање, секој од 50-те учесници мора да купи билет.
Првата награда има вредност од 100 €, втората од 25 € и 3-тата од 10 €.
Секој што нема да добие некоја од овие награди, ќе добие утешна награда од 1 €.
Колку би требало да биде билет скап за да се поклопат приходите и трошоците?
Секоја лота се продава за 5 €.
Приходите се наменети за Фриденсдорф. Колку се приходите?
Решение подолу

Вежба 3:

Урна содржи црвена, црна и зелена топка.
Се извлекува топка без да се замени додека не се појави зелена топка.
Ако зелената топка во

Извлечен 1-ви потег, исплатата е 2 €.
2. Движете се повлечен, исплатата е 1 €.
Извлечен е 3-ти потег, исплатата е 0 €.

Колку мора да биде голем влогот за да биде фер игра?
Решение подолу

решенија

Вежба 1:

не, исплатата е 0 €.
еднаш, исплатата е 2 €.
двапати, исплатата е 4 €. три пати, исплатата е 6 €.

Решение:

Играта е фер ако, на долг рок, се игра точно онолку колку што е преземено.
За да го направите ова, ја пресметуваме очекуваната вредност на исплатите.
E (X) = 1 значи дека во просек ќе се исплати 1 € по натпревар на долг рок.
Со удел од 1 € по натпревар, играта е фер.

Вежба 2: Секој билет победува!

На церемонијата на дипломирање, секој од 50-те учесници мора да купи билет.
Првата награда има вредност од 100 €, втората од 25 € и 3-тата од 10 €.
Секој што нема да добие некоја од овие награди, ќе добие утешна награда од 1 €.
Колку би требало да биде билет скап за да се поклопат приходите и трошоците?
Секоја лота се продава за 5 €.
Приходите се наменети за Фриденсдорф. Колку се приходите?
Решение: Очекуваната вредност се пресметува:
Е (Х) = 3,64 значи дека секоја лота мора да чини 3,65 € за да ги покрие трошоците.
Со цена на билетот од 5 € и продадени 50 билети, резултира со добивка од 50 (5 - 3,64) = 68 €
Оваа сума оди за Фриденсдорф.

Вежба 3:

Урна содржи црвена, црна и зелена топка.
Се извлекува топка без да се замени додека не се појави зелена топка.
Ако зелената топка во
Ако се повлече првиот потег, исплатата е 2 €.
2. Движете се повлечен, исплатата е 1 €.
Извлечен е 3-ти потег, исплатата е 0 €.
Колку мора да биде голем влогот за да биде фер игра?
Решение: Со помош на дијаграмот на три нивоа на дрвото и правилото за патека, можете да ги пресметате веројатностите за повлекување на зелена топка.

Очекуваната вредност на исплатата е E (X) = 1.
Ако сака да биде фер игра, влогот мора да биде и 1 евро.