Член 03 - том 23 - бр. 4 - 2013 година
Дефиниции и теореми
Национален институт за истражување - развој во информатика, ИЦИ, Букурешт
Резиме: Во оваа статија ги разгледуваме фактите што доведоа до криза во математиката, а потоа и во потрагата по нивните основи, што ги обезбедува основите на науката. Истакнато е дека дефиницијата не е единствена и дека тоа е моторниот нерв на математиката, тоа се прави преку предлог-функција, што му ја остава на интелектуалната креација целата слобода на движење.
Клучни зборови:дефиниција, предлог-функција, метаматематика, демонстрација.
Вовед„Скоро и да нема двајца математичари чии идеи за темелите на нивната наука се целосно во согласност“, вели Аренд Хејтинг. (Mathematische Grundlagenforschungen. Интуиционизам, Beweistheorie, Springer, Berlin, 1934) дивергенција помеѓу позициите во филозофијата на математиката. И оваа изјава е точна. Парадоксално, истражувањето на логичките основи на математиката, наместо да се постават темелите, ги ослабе и ги претвори нивните вистини во произволни конвенции. Од друга страна, математиката постои во сета своја сјајност, се развива и продолжува да расте над она што е кажано за тоа, без да обрне внимание на она што Хилберт го нарекува „метаматематика“.
Сите напори да се потврди, или со логика или со филозофија, природата и основите на математиката, наидоа на непремостливи тешкотии и создадоа тешки, дури и нерастворливи проблеми. Примери се логичко-математичките парадокси, проблемот со неодлучноста (Unentscheidbarkeit) откриен од Курт Гедел, проблемот со неконтрадикторноста на теоријата итн. Овие факти ја доведоа математиката во кризна состојба, што специјалистите отворено го признаа.
Благо речено, ќе кажеме дека, всушност, тоа не е криза на математиката, туку криза на метаматематиката. Парадоксалните проблеми не произлегуваат од развојот на телото на математички вистини, туку само од фактот дека зборуваме за овие вистини.
Некои автори веруваат дека можат да најдат други „кризи“ во историјата на математиката. На пример, А. Фраенкел и Ј. Бар-Хилел инсистираат на идејата дека дваесеттиот век не е првиот период во кој математиката претрпела „криза на темели“. За нив, три големи кризи ја треселе математиката низ историјата.
Обидите да се надмине оваа последна криза има многу. Вниманието ќе го свртиме само на фактот дека трите споменати кризи се од различна природа: додека првите две имаат во својот центар изненадувачки математички откритија, кои го погодија духот на современиците со нивниот необичен карактер, последната криза има посебен карактер, бидејќи се состои од -обид да се реконструира математиката на нов јазик, за да се обезбедат нејзините основи. Со други зборови, претходните кризи се надминати со консолидирање на нови и „бизарни“ резултати во рамките на математиката; новата криза произлезе од метаматематички преглед на извонредните резултати добиени во нашата ера, со обид да се консолидира математиката однадвор, со вештачка реконструкција на нивниот јазик (што не е онаа во која се добиени резултатите). Така се гледа дека последната криза била предизвикана од метаматематички размислувања и затоа овие науки не смеат да се плашат од овие повеќе или помалку филозофски и премногу специфични јазични шпекулации.
После она што се чинеше како вистинска математичка катастрофа, предизвикана од појавата на оваа криза, водечките мислители почнаа поблиску да разгледуваат што се случило. Така, се кренаа некои гласови кои тврдат дека на математиката воопшто не им треба „основа“. Од оваа гледна точка, се собра особено авторитативен глас, оној на Хилари Путнам (Математика без темели, „Весник на филозофијата“, LXIV, 1967).
заклучоци: Дозволете ни сега да ги сумираме резултатите добиени погоре, што, се разбира, би можеле да ги скицираме само во тесниот простор на овој напис.
Веруваме дека успеавме да дадеме одговор, во горенаведеното, на двата проблеми што Мостовски ги смета за основни проблеми на математиката. Нашиот одговор покажува дека логичкиот проблем - и преку оваа математика - на математичкиот објект не е филозофски проблем. Се разбира, ние не ја оспоруваме легитимноста на покренување на такви филозофски прашања. Но, да се стават проблемите на предметот и математичкото расудување, од филозофска гледна точка, значи да се создаде дополнителен проблем и теории како одговори на овој проблем, кои се само „епитети“, интелектуален епифеномен далеку, повеќе или помалку, од феноменот директен и правилен математички интелектуалец. И ова, се чини, е доволно објаснето со нашата чисто логичка анализа. Математичкиот чин има два аспекта: креативниот аспект, преку кој се воведува нов „објект“, дефиницијата на функција; демонстративниот аспект, кој ја воспоставува еквивалентноста на ваквите функции во телото на една теорија. Така, двете уметности се наоѓаат заедно: ars inveniendi и ars demonstrandi, како две страни на истиот процес, што е логичко-математички процес.
Настојувавме да останеме во ексклузивната област на логиката. Но, природата на објектот, како и на математичкото расудување, како што е објаснето погоре, може да фрли ново светло на причините што ги натераа Платон и Аристотел да сметаат дека математичките објекти имаат посебна ситуација. Навистина, за Платон, математичкиот објект и особено геометриските фигури формираат среден домен помеѓу идеите и разумните нешта. (Видете, на пример, Политеиа, VII, 529.) Слично на тоа, Аристотел ги предизвикува математичките субјекти за нивната „автономија“; тие би се должеле само на апстракција, без да поседуваат автономно постоење (De anima, I, 1 и III, 7; Metaphysica, K, 4, 1 061 b and E, 1, 1 026 a etc.). Ларвиот свет на варијабли, создаден „слободно“ од математичарот, не може да се идентификува ниту со светот на трансцендентните идеи на Платон ниту со светот на иманентните суштини на Аристотел.
БИБЛИОГРАФИЈА
Ова дело е лиценцирано според Меѓународната лиценца Криејтив комонс Наведи извор 4.0.