Диференцијални равенки
Диференцијална равенка ја опишува промената во променливата на состојбата, на пример, како функција на времето. Промената во променливата на состојбата е опишана со изведувањето. Постојат неколку форми на диференцијални равенки. Некои од нив треба да бидат накратко опишани. DGL подолу е пример за експлицитно DGL од 1-ви ред. Експлицитно значи дека дериватот може да биде изолиран и стои сам на едната страна од равенката. Терминот 1-ви поредок значи дека само првиот извод доаѓа во равенката.
Следната равенка е DGL од 2-ри ред.
Следната диференцијална равенка е експлицитна, линеарна равенка од прв ред. Линеарно значи дека состојбата променлива X (t) е линеарна.
Следната равенка повеќе не е линеарна.
Решението на диференцијалните равенки се прави преку интеграција, доколку тоа е изводливо. Процесите на решенија честопати бараат широки трансформации на почетните равенки. Во повеќето програми за симулација, DGL се решаваат со употреба на нумерички методи на приближување (Олер-Коши или Рунг-Кута). Овие приближни решенија повремено доведуваат до големи неточности или дури и до сосема погрешни резултати.
Некој зборува за раст ако, за секого. Една од наједноставните форми на раст е експоненцијален раст. Тука се претпоставува дека промената е пропорционална на присутната маса (или број). На пример, ако погледнете популација на бактерии, може да претпоставите дека два процеса го одредуваат растот: бактериите се размножуваат и тие умираат. Зголемувањето зависи од тоа колку бактерии биле претходно присутни, како и намалувањето. Сега можеме да воведеме стапка на смртност и наталитет (стапка на поделба, итн.) И да ги комбинираме двата процеса во стапката на раст r.
За да се реши оваа равенка, мора да се забележи дека изведувањето на природниот логаритам (ln (x)) е дадено со, и исто така мора да се примени правилото на ланецот. Прво го донесуваме X (t) на левата страна од равенката.
На левата страна на равенката е дериватот на ln (X (t).
(Секој што има проблеми со разбирањето може да го пресмета со диференцирање.)
Сега можеме да ги интегрираме обете страни преку t, избираме 0 до s како опсег на интеграција.
Делогаритамизирај од која било страна на равенката води кон
Со ова се утврди решението на експоненцијалната равенка за раст. Изразот X (0) е почетна вредност за променливата на состојбата. Ако погледнете во растот на популацијата, тоа е почетната големина на населението. Ако r е поголем од нула, тогаш популацијата расте експоненцијално. Ако, пак, r е помала од нула, тогаш постои експоненцијално распаѓање; населението изумира.
За разлика од експоненцијалниот раст, логистичкиот раст го зема предвид фактот дека ниту еден раст не може да се продолжи на неодредено време. Наместо тоа, во одреден момент ќе се достигне ограничување на капацитетот K што не може да се надмине. Ако погледнете на растот на бактериите во хранлив раствор, тогаш хранливите материи се доволни само за одреден број бактерии. Доколку се постигне овој праг, населението повеќе не се зголемува. Во природата, затоа, честопати може да се забележи курс во облик на S на кривата на раст. Диференцијалната равенка што ја рефлектира таквата крива е равенка за логистички раст:
Параметарот за раст r и ограничувањето на капацитетот K може да се комбинираат за да се формира нов параметар. Оваа форма на равенка исто така се наоѓа често.
Ако ја погледнете равенката за логистички раст, се забележува следново: Додека X (t) е сè уште мал, можете да го занемарите производот бидејќи е само помал (затоа што:!). Затоа, равенката првично се однесува како равенка за експоненцијален раст и само се израмнува подоцна. Равенката за логистички раст е решлива. Во принцип, продолжувате како порано. Донесете ги сите поими со X (t) на левата страна од равенката.
Не можете да се интегрирате сега бидејќи X (t) се појавува во производот во именител. Она што сакате да го постигнете е производот да се раствори и да се замени со израз како. За ова се користи добро познатото парцијално распаѓање на дел. Ова го правиме на следниов начин:
Постојат константи А и Б, така што:
Сега ги носиш дропките од десната страна на равенката во заеднички именител.
треба да биде иста. Назначувачите се исти, затоа мора да го прилагодите броителот. Сега е извршена споредба на коефициентот. Ова не значи ништо друго освен споредување на моќноста на X (t) од двете страни на равенката и прилагодување на параметрите A и B така што поимите за каква било потенција да одговара.
Прво започнувате со константите:
Лево е АК, десно 1. Некој бара еднаквост: АК = 1 и на тој начин. Ова значи дека параметарот А е веќе поставен.
Потоа, еден оди во X (t).
На левата страна на равенката, на X (t) му претходи променливата - A + B. На десната страна нема израз со X (t); со тоа вредноста е 0. Ова резултира во: - A + B = 0 и A = B. Со тоа ги утврдивте двата израза за А и Б и можете да ги вметнете во равенката (*). Резултатот е израз:
Сега можете да интегрирате:
Оваа равенка може дополнително да се трансформира за да се олесни проценката. Изразот што се елиминира прво се појавува во броителот и именителот. (Белешката може да се напише и како:)
Сè уште е вознемирувачко што дропката се јавува и во броителот и во именителот.
Како што се зголемува, се приближува до нула. Системот се стреми кон ограничување на капацитетот К. .
Досега се разгледуваше само една изолирана количина. Во реалноста, процесите не можат да се одвиваат изолирано, туку се под влијание на други варијабли. Постојат многу дефиниции за поимот систем. Во суштина, системот ги содржи елементите и нивното однесување заедно со интеракциите едни со други. Се прави разлика помеѓу следново:
Типови на системи
- изолирани
За системот се вели дека е изолиран кога нема влез и излез. Т.е. не разменува енергија или материја со животната средина. Изолираните системи се користат како идеализации во економијата, физиката и хемијата (термодинамика). - завршено
Системот разменува само енергија, а не материја, со околината. - отворен
Системот разменува материја (и енергија) со околината. На живите суштества може да се гледа како на отворени системи. Во контекст на отворени системи, сè уште постојат разлики - адаптивни
Системот не е уништен со процесот на размена на материја (и енергија). - стационарен
Карактеристиките, а со тоа и состојбите на системот не зависат од времето. За разлика од ова, тука е и имотот: - динамичен.
Големините на системот се менуваат со текот на времето.
Интеракции, позитивни и негативни повратни информации
Ако две (или повеќе) количини влијаат едни на други, тогаш постои интеракција. Ефектот на врската може да биде корисен или штетен за одделните страни и на тој начин да биде позитивен или негативен.
Во продолжение разгледуваме по едно население од планински зајаци и рисови. Ние исто така ги претпоставуваме следниве барања:
- Снабдувањето со храна на планинските зајаци е неограничено.
- Затоа, ако рисовите не ги изеде рисот, тие ќе растеа со стапка б. Растот е пропорционален на густината (или бројот) на зајаците. Следното се однесува на системот:
Планински зајаци без рисови:
Моделот потекнува од Лотка (1910; 1925) и се користеше за да се опише врската помеѓу зајаците и рисовите во некоја област во Канада. (Една компанија за крзно беше многу заинтересирана за оваа тема и обезбеди податоци) Овие равенки не се експлицитно решливи. Тие можат да бидат претставени со помош на нумеричко приближување (Рунг-Кута или слично). Или, генерално, може да се испита како се однесува системот во зависност од параметрите b, m, r и почетните вредности за популациите. Следниот дел ја објаснува основната постапка.
Еквилибриумните точки на системот се нули на диференцијалните равенки со кои е опишан системот. Ова ги прави места каде што нема повеќе видливи промени. Сите промени продолжуваат да течат, но тие меѓусебно се откажуваат. Ако некој гледаше само на една популација, динамичната рамнотежа ќе беше онаму каде што раѓањата и смртта целосно се балансираат едни со други. Иако поединци сè уште умираат и се раѓаат, не се разликува промена на вкупното ниво на население. Еквилибриите од овој тип се нарекуваат и динамични рамнотежи. Како прв пример, да го разгледаме логистичкиот раст
така се и точките на рамнотежа: и. Или да кажам поинаку: ако нема население, тогаш и тој не може да расте. Истото важи и за ограничувањето на капацитетот.
Следното сега мора да се примени на системот предатор-плен од горниот дел:
и тоа во исто време.
Да почнеме со првата равенка за рисот.
Значи или F (t) = 0 или (- m + rH (t)) = 0. Вториот поим е синоним за. Сега мора да забележиме и дека втората равенка за популацијата зајаци исто така мора да биде нула.
Ги земаме рамнотежните точки на првата равенка една по една и ги вметнуваме во втората. Првата точка доведува до барање:
Втората точка доведува до:
Истражувањето на глобалната стабилност е често незгодно. Локалното може полесно да се испита. За ова мора да се воведе мала дигресија.
Започнуваме со еднодимензионалниот случај на DGL.
Билансни поени се сите точки со. Ние ги бараме нулите на f. Сега сакаме да знаеме кога е локално стабилно, т.е под кои околности се враќа X (t) по мало отклонување. За да го направите ова, експанзијата на серијата Тејлор се спроведува околу точката на рамнотежа. Серијата Тејлор во одредена мерка е и нумеричка апроксимација. Се претпоставува дека системот (или поточно DGL) во близина на точката на рамнотежа може да се опише со деривати од f до X.
Еден сега ги занемарува сите услови на повисок ред и прави линеарно приближување. Во принцип, ние не тврдиме ништо друго освен дека наклонот на f во точката на рамнотежа и количината на отклонување може да се приближат (ако некој имал зацртано f (x) наспроти X, во одредена смисла би се повлекол права линија со наклонот низ точката на рамнотежа). Ова е добро само додека сте близу, во спротивно квадратните и кубните термини добиваат на тежина и повеќе не можете да ги занемарите. Затоа, со ова може да се испита само локалната стабилност. Значи, сметаме:
и сакаат да знаат дали ќе се вратиме на точката на рамнотежа. Прво поставивме затоа што тоа ги прави равенките појасни. Имаме Z '(t) = X' (t) и на тој начин
Така имаме линеарна равенка од 1 ред и можеме да се интегрираме (видете дел за експоненцијален раст).
Ако, тогаш има експоненцијален раст, системот не се врати и точката на рамнотежа е нестабилна. Ако има експоненцијално распаѓање, системот се враќа во точката на рамнотежа по првичното нарушување. Поентата е стабилна. Се применува, ништо повеќе не може да се каже на почетокот.
Постапката е исто така наречена студија за линеарна стабилност.
Нешто слично на еднодимензионалниот случај може да се изврши и во повисоко-димензионалниот случај. Ако имате две здружени променливи на состојбата (на пр. Рисови () и зајаци ()), прво мора да ги одредите нулите на и. Тоа значи, ги барате сите со и. Можете исто така да ги комбинирате двете равенки и да ги напишете како векторска равенка.
Откако ќе се утврдат нулите, експанзијата на серијата Тејлор може да се изврши повторно. Значи, повторно го одредуваме првиот извод на f во однос на X. Постои разлика во споредба со еднодимензионалниот случај: Функцијата f е составена од две функции, а овие функции зависат од две величини. Со цел да се одреди вкупниот извод (означен со Df (X)), функциите мора да бидат изведени во секој случај и во следниот редослед.
Изразот Df (X) затоа се нарекува и дериватна матрица на f (X). Равенката може формално да се препише како погоре:
Оваа равенка може повторно да се интегрира, но за тоа е потребен посеопфатен вовед. Поточно: Решението е како во еднодимензионалниот случај:
Изразот, кој станува непопустлив, предизвикува проблеми. Системот сега обично се трансформира за да може полесно да се пресмета. Ова е направено со користење на сопствените вредности и сопствените вектори на матрицата. Вовед во оваа тема би бил премногу време во овој момент, така што тука се дадени само резултатите. Следното е:
Ако: и се примени, тогаш точката на рамнотежа е стабилна и системот работи кон него. Ова може да се направи или монотоно или со вибрации.
Применува:
а потоа точката на рамнотежа е стабилна и системот кружи околу него. Амплитудата на кругот или осцилацијата зависи од почетните услови за X (t).
За илустрација на постапката, како пример е прикажан системот предатор-плен.
Прво на сите, едно потекнува од F (t). H (t) се третира како константа.
Потоа се изведува H (t) (во овој случај F (t) се третира како константа).
Конечно, и двете се уште се извршени за.
Ова ни ја дава матрицата на системот:
Двете рамнотежни точки се вметнуваат една по друга во изразот.
1) .
Ова значи дека и. Бидејќи и m и b се поголеми од нула, нултата точка не е стабилна.
2)
Па е и. Со m, b; SPMgt; 0 смета дека втората точка на рамнотежа е стабилна. Сепак, системот не го достигнува, туку го кружи во орбити, чиј радиус зависи од почетните услови.
и: рамнотежна точка асимптоматски стабилна.
и: е заокружена рамнотежната точка.
: Точката на рамнотежа е нестабилна