Олимпијада - одделение 8
1. - 34-та Олимпијада - задачи и решенија 1.-34. Олимпијада - 1
Вежба 010834: Кој го има прстенот? Рут, Фриц, Евалд, Брижит и Ерика играат игра со пион. Рут ја напушта собата; во меѓувреме едно од другите деца крие прстен со него. Рут се враќа да открие кој го има прстенот. Сега секое дете дава три изјави. Од овие изјави, две се вистинити, а една е лажна. Врз основа на овие изјави, Рут треба да открие кој го има прстенот без да погодува. Евалд: 1. Јас немам прстен. 2. Фриц го има прстенот. 3. Ја играв оваа игра многу пати. Фриц: 1. Јас немам прстен. 2. Евалд греши кога мисли дека го имам прстенот. 3. Ерика го има прстенот. Сега Рут прекинува и вели: Морам да размислам, можеби сега ќе дознаам кој го има прстенот. И по неколку минути, Рут вели кој го има прстенот. Од каде таа знаеше? Вежба 010835: Точките P и Q се дадени со растојание од 5 см. Конструирајте две паралели, од кои едната поминува низ P, другата преку Q и кои се оддалечени = 3 см. Оправдајте ја конструкцијата! Колку различни опции има на ниво? 1.-34. Олимпијада - 5-та
Вежба 020814: Во следниот проблем со поделба, додадете ги бројките што недостасуваат! Како беа утврдени цифрите? (Причина!):? = 8 Вежба 020815: Докажи ја следната теорема: 0 Ако центарот на обемот на триаголник лежи на една од неговите страни, триаголникот е правоаголен! Вежба 020816: Даден е правоаголник ABCD, чии страни се поделени во сооднос 1: 2, како на сликата. Ние ги нарекуваме потточките P, Q, R, S и ги поврзуваме постојано. D S R C а) Изведете ја оваа конструкција за правоаголникот со страни AB = 10 cm и BC = 7 cm! П б) Каков вид на квадрат е квадратот P QRS? (Доказ!) A P B в) Како е поврзана плоштината на квадратот P QRS со онаа на правоаголникот ABCD? Дали резултатот се однесува и на другите правоаголници поделени на овој начин? (Причина!) 1.-34. Олимпијада - 7
2. Вежби за 2-ри ниво на Олимпијада по математика (Крајсолимпијада) Вежба 020821: Треба да се докаже следнава реченица: Ако не може да се скрати дропката a b a + b, тогаш a b не може секогаш да се скрати. Вежба 020822: Според плановите на XXII. Конгрес на партијата ЦПСУ, се вели дека производството на јаглен во 1980 година е 687 милиони т поголемо отколку во 1960 година. Производството на јаглен во 1980 година е 234 проценти во споредба со 1960 година. Пресметајте го планираното производство на јаглен за 1960 година! Заокружи на целиот милион т! Вежба 020823: Пресметај: m 2 n 2 mn + m2 + 2mn + n 2. m + n Вежба 020824: Кое x ја задоволува следната равенка: (x 2 1) (x: 3 3 1) (3x = 2 4 1) (x: 6 2 2)? 3 Вежба 020825: Wireичаните јажиња често се состојат од нишки, кои пак се состојат од индивидуални челични жици. Нишките се завиткани околу намастено јадро од коноп што го подмачкува јажето одвнатре. Сликата го покажува пресекот низ таквото жично јаже, кое се состои од 42 жици и јадро од коноп (сива боја). Секоја жица има дијаметар од 1 мм. Колку е дијаметарот на кругот околу пресекот на јажето? Причина! 1.-34. Олимпијада - 8
Вежба 020835: Докажете ја следната теорема: Ако ги нацртате двата дијаметра низ една точка на пресек на два круга, тогаш другите нивни крајни точки лежат во права линија со втората точка на пресек на круговите. Вежба 020836: а) Постојат три прави g 1, g 2 и g 3, од кои ниту една не е нормална на која било друга. Тие се сечат во точката S. На g 1 има друга точка A. Пронајдете го триаголникот ABC во кој висините лежат на прави. б) Истражи ги сите случаи во кои 2 права се нормални едни на други и точката А лежи на една од овие редови или на третата! 1.-34. Олимпијада - 11
а) Конструирај трапез! б) Оправдајте ја конструкцијата! 1.-34. Олимпијада - 15
ѓ) правоаголник (не квадрат) е) пентагон ж) октагон? Кои можни обрасци не се вклучени во списокот? Направете скица за секоја исечена фигура, од која можете да видите како мора да се направи рамниот пресек ако сакате да ја добиете предметната исечена фигура! 1.-34. Олимпијада - 17-та
4-та олимпијада по математика Вежби за 2-ри ниво (кружни олимписки игри) Вежба 040821: Секој трапез АБЦД треба да се трансформира во правоаголник со еднаква површина (конструкција!). Вежба 040822: Користете кој било трицифрен број за да го формирате бројот со обратен редослед на цифри и докажете дека разликата помеѓу двата броја е делива со 99! Вежба 040823: Дадени се двата соседни агли α и β со темето А и точката Д на заедничката нога (види слика). Α β α D a) Конструирајте го триаголникот ABC од оваа бројка на таков начин што АД е бисектор! б) Под која состојба триаголникот ABC станува рамностран? Вежба 040824: Петар е на летен камп. Тој сака да го купи Брауз за 21 фенниг по шише за својата група и со себе носи празни шишиња. За откупениот депозит (30 фунти за секое празно шише) тој би сакал да купи што повеќе шишиња сода. Уште 30 депозити мора да се депонираат за секое шише. Излезе дека добил 6 шишиња помалку отколку што попуштил. Тој исто така добива пари назад. Колку празни шишиња зеде Петар со себе? (Не постои само едно решение.) 1.-34. Олимпијада - 18
Вежби 4-та математичка олимпијада 3-то ниво (Окружна олимпијада) Вежба 040831: Ако ги замените цифрите на двоцифрен број n, добивате број што е 8 3 број n. пати поголема од големината на n. Вежба 040832: Конструирај правоаголен триаголник ако се дадени радиусот r на впишаниот круг и должината a на катетусот и опиши ја конструкцијата! Под кои услови може да се изврши конструкцијата? Вежба 040833: Од 31 ученик во 4 одделение, 21 може да плива, 24 може да велосипеди, а 19 можат да лизгаат. За натпревар, студенти се потребни кои можат: а) да пливаат и да возат велосипед, б) да пливаат и скејт, м) циклус и скејт, г) да пливаат и да возат и скејт. Колку ученици на час се достапни за а), б), в) и г) барем, колку најмногу? Вежба 040834: Дадени се три сегменти со должини p 1, p 2 и r со p 1 c (2) a + b = c + d (3) a + d