Примери за правило на производот

Примерите вклучуваат само рационални и тригонометриски функции, бидејќи правилото за производот обично се решава пред да се воведат понатамошни класи на функции. Во секојдневниот училишен живот - особено во основните курсеви - најчесто се бара правило во врска со експоненцијалната функција, која обично се воведува веднаш по правилата за изведување.

правилото производот

Додека секоја сума може да ја извлечете одделно за суми, тоа не е толку лесно со производот:

Правило на производот

$ f (x) = u (x) \ пати v (x) $ $ \ Rightarrow $ $ f '(x) = u' (x) \ пати v (x) + u (x) \ пати v '(x ) $

Кога ви треба правилото за производот?

Да го кажам лабаво: секогаш ти треба кога имаш функција од формата „Термин со $ x $ пати Мандат со $ x $” (ако променливата се вика $ x $). Не е важно кој фактор се нарекува $ u (x) $ или $ v (x) $. Ако правилото за производот не е експресно потребно, претходното преобликување е често полесно, особено со рационални функции.

Примери

  1. $ f (x) = (5x ^ 2-3) \ cdot (8x ^ 3 + 2x) $
    За почеток, ги запишуваме факторите и ги изведуваме одделно:
    $ \ startu (x) & = 5x ^ 2-3 & u '(x) & = 10x \\ v (x) & = 8x ^ 3 + 2x & v' (x) & = 24x ^ 2 + 2 \ крај $
    Следното е вметнато во правилото за производот:
    $ f '(x) = 10x \ cdot (8x ^ 3 + 2x) + (5x ^ 2-3) \ cdot (24x ^ 2 + 2) $
    Ако задачата бара терминот потоа да се поедностави, заградите треба да се скршат:
    $ \ startf '(x) & = 80x ^ 4 + 20x ^ 2 + 120x ^ 4 + 10x ^ 2-72x ^ 2-6 \\ & = 200x ^ 4-42x ^ 2-6 \ крај $
    Во оваа задача е легитимно да се праша дали има смисла примената на правилото за производот. Всушност, би било полесно прво да се скрши држачот, а потоа да се заклучи. Ако вашиот избор е ваш, направете го ова. Се разбира, ако ве замолат да го користите правилото за производот, треба да го почитувате.
  2. $ f (x) = x ^ 5 \ cdot \ frac $
    Ова е еден од (бесмислените) примери што за жал сè уште може да се најде во голем број во училишните книги, иако може да се изведе многу полесно со претходното поедноставување според законите за моќ. За да можеме да произлеземе од правилото за производот, прво пишуваме
    $ f (x) = x ^ 5 \ cdot x ^ $
    и потоа изведи:
    $ \ startf '(x) & = 5x ^ 4 \ cdot x ^ + x ^ 5 \ cdot (-2x ^) \\ & = 5x ^ 2-2x ^ 2 \\ & = 3x ^ 2 \ крај $
    Ако прво поедноставите, ниту правилото за производот, ниту последователното резиме не е потребно:
    $ f (x) = x ^ 3 \; \ Rightarrow \; f '(x) = 3х ^ 2 $
  3. $ f (x) = x ^ 2 \ cdot \ sin (x) $
    Во овој случај, правилото за производот е од суштинско значење. Факторите се толку едноставни што можете веднаш да го запишете резултатот:
    $ f '(x) = 2x \ cdot \ sin (x) + x ^ 2 \ cdot \ cos (x) $
    Не е можно да се сумира овде.
  4. $ f (x) = \ cos ^ 2 (x) $
    Ова е кратка нотација за $ f (x) = (\ cos (x)) ^ 2 $. Оваа функција може да се изведе според правилото на ланецот, но правилото за производот е исто така можно со пишување на квадрат како производ на два еднакви фактори:
    $ f (x) = (\ cos (x)) ^ 2 = \ cos (x) \ cdot \ cos (x) $
    Сега правилото за производот се користи повторно:
    $ \ startf '(x) & = - \ sin (x) \ cdot \ cos (x) + \ cos (x) \ cdot (- \ sin (x)) \\ & = - 2 \ sin (x) \ cos (x) \ крај на $
  5. $ f (x) = 3 \ cdot (x ^ 4-4x) $
    Ова всушност не важи за правилото за производот, туку за правилото за факторот, бидејќи првиот фактор не зависи од променливата $ x $. Ако сепак го применувате правилото за производот, запомнете дека дериватот на број е нула и не смее да се изостави во овој случај затоа што тоа е фактор, а не збир:
    $ \ startf '(x) & = \ underbrace \ cdot (x ^ 4-4x)> _ + 3 \ cdot (4x ^ 3-4) \\ & = 3 \ cdot (4x ^ 3-4) \\ & = 12x ^ 3-12 \ крај $
  6. $ f (x) = - 2 \ cdot x \ cdot \ cos (x) + \ frac 25x ^ 5 $
    Не збунувајте се: не станува збор за три фактори, туку само за двајца, бидејќи првиот фактор е број. Првата сума се изведува според правилото на производот ($ u (x) = - 2x $; $ v (x) = \ cos (x) $), втората "нормална", т.е. едноставно според правилото за напојување:
    $ \ startf '(x) & = - 2 \ cdot \ cos (x) -2x \ cdot (- \ sin (x)) + 2x ^ 4 \\ & = - 2 \ cos (x) + 2x \ sin ( x) + 2x ^ 4 \ крај на $

Повремено, Правилото за производ се проширува и вклучува три фактори.

Правило на производот за три фактори

$ f (x) = u (x) \ cdot v (x) \ cdot w (x) \; $ $ \ Rightarrow \; $ $ f '(x) = u' (x) \ cdot v (x) \ cdot w (x) + u (x) \ cdot v '(x) \ cdot w (x) + u (x) \ cdot v (x) \ cdot w' (x) $

Значи, секој од трите фактори се изведува и множи со другите два оригинални фактори; потоа се додаваат овие термини.

Извод

Прво ставаме загради така што имаме само два фактори, дури и ако вториот фактор е повторно производ:
$ f (x) = u (x) \ cdot \ лево [v (x) \ cdot w (x) \ десно] $

Овој производ можеме да го изведеме според правилото за два фактори:
$ f '(x) = u' (x) \ cdot \ лево [v (x) \ cdot w (x) \ десно] + u (x) \ cdot \ лево [v (x) \ cdot w (x) \ десно] '$

Терминот $ \ лево [v (x) \ cdot w (x) \ десно] '$ исто така се изведува според правилото на производот за два фактори:
$ \ лево [v (x) \ cdot w (x) \ десно] '= v' (x) \ cdot w (x) + v (x) \ cdot w '(x) $

Распоредување:
$ f '(x) = u' (x) \ cdot \ лево [v (x) \ cdot w (x) \ десно] + u (x) \ cdot \ лево [v '(x) \ cdot w (x ) + v (x) \ cdot w '(x) \ десно] $

Сега ја отвораме задната заграда и ја оставаме излишната заграда во првата наредба, а резултатот е таму:
$ f '(x) = u' (x) \ пати v (x) \ пати w (x) + u (x) \ пати v '(x) \ пати w (x) + u (x) \ пати v (x) \ cdot w '(x) $

пример

$ f (x) = x ^ 2 \ cdot \ sin (x) \ cdot \ cos (x) $

Постојат три фактори кои не можат претходно да се поедностават или сумираат [1]. Затоа, правилото важи за три фактори:
$ f '(x) = 2x \ cdot \ sin (x) \ cdot \ cos (x) + x ^ 2 \ cdot \ cos (x) \ cdot \ cos (x) + x ^ 2 \ cdot \ sin (x ) \ cdot (- \ sin (x)) $
Резултатот може да се напише само малку пократок:
$ f '(x) = 2x \ sin (x) \ cos (x) + x ^ 2 \ cos ^ 2 (x) -x ^ 2 \ sin ^ 2 (x) $

Во секојдневниот училишен живот, правилото за производот е скоро секогаш доволно за два фактори. Изводи со три фактори се повеќе користени за „техничко вежбање“.

[1] Секој што ги знае теоремите за собирање на тригонометриските функции, ќе препознае можност за поедноставување. Сепак, ова многу ретко се решава во училиште.