Тропска интерполација; EWSTпреведи

Франк Сотиле
9 октомври 2004 година, Стајџ колеџ, Тексас.

Секој знае дека две точки одредуваат права и многу луѓе кои ја проучувале геометријата знаат дека пет точки во рамнината одредуваат конус. Општо, ако имате m случајни точки во рамнината и сакате да поминете низ рационална крива на степен d низ сите, можеби нема да има решение за овој проблем на интерполација (ако m е премногу голем) или бесконечен број решенија ( ако m е премногу мал) или конечен број решенија (ако m е фер). Се чини дека „m точно“ значи m = 3 d -1 (m = 2 за линиите и m = 5 за конусот).

Потешко прашање е, ако m = 3 d -1, колку рационални криви на степен d ги интерполираат точките? Да го повикаме овој број N d, така што N 1 = 1 и N 2 = 1 затоа што правата и конусот од претходниот пасус се единствени. Одамна е познато дека N 3 = 12, а во 1873 година Зутен [Зе] покажа дека N 4 = 620. Тука стоеја проблемите до пред околу десет години, кога Концевич и Манин [КМ] користеше асоцијативност во квантната кохомологија за да обезбеди елегантно повторување на овој број.

Истражувачките теми во семестарот ЗМИ Зима 2004 за тополошките аспекти на реалната алгебарска геометрија вклучуваат вистинска алумбриска геометриска геометрија, тропска геометрија, криви рамнини и примени на реална алгебарска геометрија. Сите се вткаени заедно во приказната за овој проблем на интерполација, прототип проблем на набројување на геометријата, што е уметност на броење геометриски фигури утврдени од дадени услови на инциденца. Еве уште еден проблем: колку линии во вселената исполнуваат четири дадени линии? За да одговорите на ова, забележете дека три линии лежат на еден двоглав хиперболоид.

Трите редови се во единствена одлука, а втората одлука се состои од линиите што ги почитуваат трите дадени редови. Бидејќи хиперболоидот е дефиниран со квадратна равенка, четвртата линија ќе се сретне во две точки. Преку секоја од овие две точки има линија во втората пресуда, а тоа се двете линии што одговараат на четирите дадени права.

Геометриското набројување најдобро функционира на сложените броеви, бидејќи бројот на реални цифри зависи суптилно од конфигурацијата на цифрите што даваат услови на инциденца. На пример, четвртата линија може да го исполни хиперболоидот во две реални точки или во две сложени точки на конјугација, така што има две вистински линии или нема состаноци што одговараат на сите четири. Врз основа на многуте примери, очекувавме дека секој набројувачки проблем ќе ги има сите свои вистински решенија [Значи].

Друг проблем е тој од 12-те рационални кривини кои интерполираат 8 точки во рамнината. Повеќето математичари се запознаени со нодалната (рационална) коцка прикажана лево подолу. Постои и друг вид на реална рационална кубна форма, прикажана десно.

Во втората кривина, два сложени сегменти на конјугати се среќаваат на изолираната точка. Ако го оставиме N (t) бројот на вистински кривини од типот t кои интерполираат 8 поени, тогаш Карламов и Дегтиарев [ДК] покажаа дека N (

) = 8. Еве опис на нивните основни тополошки методи.

Бидејќи има најмногу 12 такви кривини, N () + N () \ leq 12, така има 8, 10 или 12 вистински рационални кубици кои интерполираат 8 реални точки во рамнината, во зависност од бројот (0, 1 или 2) од коцки со изолирана точка. Така, ќе има 12 вистински рационални коцки кои интерполираат кои било 8 од 9 точки на пресек помеѓу двете коцки подолу.

Велшингер [Ш], кој беше постдоктор на МСРИ минатата зима, го разви овој пример во теорија. Општо, единственостите на рационалната крива Ц-рамнина се изолирани јазли или точки. Паритет на бројот на јазли е неговиот знак s (C), што е или 1 или -1. Со оглед на 3 г-1 реални точки во планот, Велшингер ја разгледа апсолутната вредност на количината

збирот над сите реални рационални криви C на степен d што ги интерполираат точките. Тој посочи дека оваа пондерирана сума не зависи од изборот на бодови. Напишете W d за оваа непроменлива на Велшингер. На пример, видовме само дека W 3 = 8.

Ова беше напредок, бидејќи W d беше (скоро) првата навистина нетривијална непроменлива во реалната алгебарска набројувачка геометрија. Забележете дека W d е долна граница за бројот на реални рационални кривини за 3 d -1 реални точки во рамнината и W d \ leq N d .

Михалкин, кој беше организатор на семестарот, под услов клучот за пресметка да се користи тропска алгебарска геометрија [Mi]. Ова е геометријата на тропската полуприколка, каде што максималните и + операциите со реални броеви ги заменуваат вообичаените операции на + и множење. Тропски полином е линеарна линеарна функција од формата T (x, y) = max (i, j) < x i + y j + c i, j >,ако пресметката е со вообичаените аритметички операции и максимумот е земен конечно подмножество на З. 2 од експонентите T и c i, j се реални броеви коефициентите Т. Тропски полином Т дефинира тропска крива, што е множество на точки (x, y) каде што T (x, y) не се разликува. Еве неколку тропски кривини.

Степенот на тропска кривина е бројот на зраци кои имаат тенденција до бесконечност во која било од трите насоки на Запад, Југ или Североисток. Тропска кривина е рационална ако станува збор за линеарно нуркање во парчиња дрво. Јазлите имаат валентност 4.

Михалкин покажа дека има само бројни тропски рационални кривини на степен d, кои интерполираат 3 г-1 генерички точки. Додека бројот на овие криви зависи од изборот на точките, Михалкин ги прикачи позитивните множества на секоја тропска крива така што пондерираната сума не е и е всушност еднаква на N d. Тој исто така ги намали овие множества и набројувањето на тропските кривини во комбинаторот на решетските патеки во триаголник со странична должина d .

Михалкин користеше преписка со дневник за мапи: ( В. *) 2 -> Р. 2 дефинирани со (x, y) | -> (дневник | x |, дневник | y |) и одредено ”од сложената структура на ( В. *) 2 Под оваа голема комплексна граница, степен d рационални криви кои интерполираат 3 d -1 поени во ( В. *) 2 се деформираат кај „сложените тропски кривини“, чии слики под Лог се вообичаени тропски криви кои интерполираат со сликите на точките. Мноштвото на тропска кривина Т е бројот на комплексни тропски криви кои проектираат Т. .

Што е со вистинските облини? Следејќи ја оваа преписка, Михалкин придава вистинска мноштво на секоја тропска крива и покажа дека ако тропските криви што интерполираат одреден број точки 3 d -1 ја имаат вкупната реална множење N, тогаш има 3 d -1 реални точки што се интерполираат со N криви реални степени г. Ова вистинско мноштво е повторно изразено во однос на решетките.

Што е со инверторот на Велшингер? Слично на тоа, Михалкин придава сигнализирана тежина на секоја тропска кривина (тропска верзија на знакот Велшингер) и покажа дека соодветната пондерирана сума е еднаква на Велшингер непроменлива. Како и порано, оваа потпишана тропска тежина може да се изрази во однос на мрежните патеки.

Во текот на семестарот на МСРИ, Итенберг, Карламов и Шустин [ИКС] ги искористија резултатите на Михалкин за да ја проценат непроменливата на Велшингер. Тие покажаа дека W d \ geq d!/3, и, исто така, W d = log N d + O (d), log N d = 3 d log d + O (d). Така, барем логаритамски, најрационалните криви на степен d интерполираат 3 d -1 реални точки во планот се реални.

Постојат уште два случаи на овој феномен на долни граници, од кои првиот претходи на работата на Велшингер. Да претпоставиме дека d е еднакво и нека W (s) биде вистински полином од степен k (d - k +1). Тогаш Еременко и Габриелов [ЕГ] покажаа дека има вистински полиноми f 1 (s),…, f k (s) на степен d чијашто детерминанта на Wronski е W (s). Всушност, тие се покажаа како пониска граница за бројот на k-предности на полиноми, до еквивалентност. Слично на тоа, додека бевме на МСРИ, Сопрунова и јас [СС] проучувавме ретки полиномски системи, поврзани со позитиви, покажувајќи дека бројот на реални решенија е ограничен под знакот на нерамнотежа на позицијата. Ваквите пониски граници на набројувачки проблеми, кои вклучуваат постоење на вистински решенија, се важни за апликациите.

На пример, оваа приказна беше раскажана преку пиво една вечер на работилницата MSRI за геометриско моделирање и вистинска алгебарска геометрија во април 2004 година. Еден учесник, Шичо, сфати дека резултатот W 3 = 8 за коцки објасни зошто метод на што ја развива да работи. Ова беше алгоритам за пресметување на приближна парамеризација на лакот на кривата, со реална кубна рационална интерполација на 8 точки на лакот. Остана да се најдат услови што ќе гарантираат постоење на решение близу до лакот. Ова го реши само Фидлер-Ле Тузе, постдоктор на МСРИ, кој проучувал коцки (не мора рационално) да интерполираат 8 точки за да помогнат во класифицирање на вистинските кривини на планетата по степен 9.

Библиографија

Би сакале да се заблагодариме на нашиот уредник Силвио Леви и членовите на МСРИ чија активност ја опишуваме.

Поддржано од Националната фондација за наука доделува КАРИЕРА ДМС-0134860 и ДМС-9810361 (финансирање МСРИ) и Клеј математички институт.